EL DESARROLLO TECNOLóGICO DE LA SOCIEDAD Y SUS INCIDENCIAS EN EL
PENSAMIENTO LóGICO MATEMáTICO
TECHNOLOGICAL DEVELOPMENT IN THE SOCIETY AND ITS EFFECTS ON THE
MATHEMATICAL LOGICAL THINKING
Rafael Bermúdez Tacunga1
1 Docente de la Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí, Ecuador.
Dirección electrónica: rafabermudez12@yahoo.comDirección para correspondencia
Resumen
Durante la última década, la sociedad del conocimiento ha evolucionado
de manera acelerada motivando el surgimiento de herramientas
tecnológicas que han incidido en diversos aspectos que integran la
sociedad humana, entre los cuales se puede destacar el estándar de
educación y formación que obtienen los estudiantes en las instituciones
educativas de nivel superior, especialmente. Estos avances tecnológicos
han provocado una suerte de adaptación en los estudiantes, quienes se
ven obligados a depender de máquinas y equipos con tecnología
actualizada para ser competitivos en las aulas de clases y, luego, en
el exigente mercado laboral, dependencia que, indudablemente, es un
factor que incide en la autonomía que poseemos las personas para
formular, enfrentar y solucionar problemas relacionados con la ciencia
matemática. En virtud de lo anterior, en el presente ensayo se efectúa
un análisis del proceso del avance tecnológico que ha evidenciado la
sociedad y sus implicaciones en el desarrollo del pensamiento lógico
matemático de los estudiantes del nivel superior de estudios, para
efectos de establecer la pertinencia del uso de equipos tecnológicos en
la formulación y resolución de problemas matemáticos que impliquen
deducciones lógicas para plantear los algoritmos alternativos de
solución a los mismos.
Palabras clave: DESARROLLO TECNOLóGICO, MATEMáTICA, PENSAMIENTO LóGICO,
FORMULACIóN DE PROBLEMAS, RESOLUCIóN DE PROBLEMAS, EDUCACIóN SUPERIOR
Abstract
During the last decade, the knowledge society has evolved rapidly
encouraging the emergence of technological tools that have affected
various aspects that make up human society, among which we can
highlight the standard of education and training to get students in the
higher educational institutions, especially. These technological
advances have led to a kind of adaptation to the students, who are
forced to rely on machines and equipment with updated technology to be
competitive in the classroom and later in the demanding labor market,
dependence that is undoubtedly a factor which affects people we have to
make, confront and solve problems related to mathematical science. In
this paper, there is an analysis of the process of technological
advance that has shown society and its implications in the development
of logical mathematical level students study, for purposes of
establishing the relevance of the use of technological equipment in
formulating and solving mathematical problems involving logical
deductions to propose alternative algorithms for solving the same.
Key words: TECHNOLOGICAL DEVELOPMENT, MATHEMATICS, THOUGHT LOGICAL,
FORMULATION OF PROBLEMS, TROUBLESHOOTING, HIGHER EDUCATION
Introducción
La sociedad humana se ha visto afectada por diversos descubrimientos
tecnológicos entre los cuales se destacan los relacionados con la
comunicación interpersonal, o los utilizados para efectuar cálculos
matemáticos, que de manera evidente han llegado para permanecer entre
nosotros con notables tendencias al perfeccionamiento constante,
originando consecuencias positivas y negativas para el desarrollo
integral del ser humano.
El sistema educativo, como parte importante de la sociedad humana, no
puede mantenerse ajeno a tal situación, pues sería negarle a los
estudiantes tanto la posibilidad como el derecho que tienen de poder
desempeñarse eficientemente en el entorno que los rodea,
contradiciendo, de esta manera, los reales y magnos postulados de la
educación escolarizada y la misión de las instituciones educativas de
todo nivel.
Es innegable que existe una relación entre la tecnología y el
desarrollo del pensamiento lógico matemático, que se presenta con
efectos en los estudiantes, los cuales deben ser investigados y
analizados de una forma técnica para establecer estrategias y
procedimientos pedagógicos que permitan armonizar el uso de
herramientas tecnológicas como las calculadoras científicas y programas
informáticos con el mejoramiento permanente de las habilidades y
capacidades que poseen los estudiantes para solucionar situaciones
problemáticas numéricas que indiscutiblemente serán parte de los
eventos que afrontarán en sus respectivas vidas cotidianas o laborales.
La experiencia adquirida como docente de Matemáticas durante 11 años,
en el nivel de estudios superiores dentro de instituciones privadas y
públicas, es la base para la realización del presente ensayo con el
tema propuesto, y que tiene como finalidad incrementar el análisis
científico sobre la conveniencia del uso de equipos tecnológicos en la
formación de profesionales mediante el establecimiento de niveles de
acceso en la solución de problemas de razonamiento lógicos numéricos.
Desarrollo del tema
Proposición
Las herramientas tecnológicas que se usan como elementos
complementarios del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática
no contribuyen con el desarrollo del pensamiento lógico de los
estudiantes.
Argumentos para la discusión
Para efectos de iniciar el análisis y discusión sobre la conveniencia
de la utilización de equipos tecnológicos en el proceso formativo
profesional de los estudiantes universitarios, es necesario señalar
ciertos conceptos y definiciones sobre las diferentes categorías que se
exponen en el ensayo, como un requisito ineludible para un mejor
entendimiento del entorno en el cual se plantea el debate y para
mantener un desarrollo coherente de los criterios que se exponen.
Concepto y definición de tecnología
Tecnología es el conjunto de conocimientos técnicos y ordenados
científicamente, que permiten diseñar y crear bienes y servicios que
facilitan la adaptación al medio ambiente, y satisfacer tanto las
necesidades esenciales como los deseos de la humanidad. Es una palabra
de origen griego, τεχνολογία, formada por téchnē (τέχνη, arte, técnica
u oficio, que puede ser traducido como destreza) y logía (λογία, el
estudio de algo). Aunque hay muchas tecnologías muy diferentes entre
sí, es frecuente usar el término en singular para referirse a una de
ellas o al conjunto de todas.
Cuando se escribe con mayúscula, Tecnología, puede referirse tanto a la
disciplina teórica que estudia los saberes comunes a todas las
tecnologías como la educación tecnológica, la disciplina escolar
abocada a la familiarización con las tecnologías más importantes; para
los intereses del presente ensayo se señalará y entenderá como
'tecnología' a los equipos que se utilizan en los procesos de enseñanza
aprendizaje de la comprensión y resolución de problemas matemáticos,
para efectos de establecer la relación existente entre el uso de estos
equipos con el pensamiento lógico matemático que deben desarrollar los
estudiantes como base para la resolución de problemas numéricos
relacionados con la carrera profesional que han escogido y posterior
desempeño profesional laboral.
Funciones de la tecnología
Las funciones de la tecnología deben analizarse considerando dos
perspectivas relacionadas con el tiempo; así se tiene que, en la
prehistoria, las tecnologías fueron usadas para satisfacer necesidades
esenciales (alimentación, vestimenta, vivienda, protección personal,
relación social, comprensión del mundo natural y social), y en la
historia para obtener placeres corporales y estéticos (deportes,
música, hedonismo en todas sus formas) y como medios para satisfacer
deseos (simbolización de estatus, mejoramiento de procesos, etc.).
Caso especial resulta la función de la tecnología en la educación y
formación de futuros profesionales, donde es estrictamente necesario
que aprendan y dominen el manejo de equipos informáticos para un
desempeño eficiente en el campo laboral, a tal punto, que en la mayoría
de los casos se presenta una dependencia excesiva del ser humano hacia
las herramientas tecnológicas de trabajo. Actualmente, no se puede
concebir un profesional con un desempeño laboral eficiente sin
conocimientos sobre el manejo y aplicación de programas y equipos
tecnológicos que agilizan los procesos de ejecuciones de las tareas de
tipo laboral.
Pese a lo expuesto, resulta importante plantearse como interrogante el
nivel de tecnología que deben usar los estudiantes para que el
desarrollo de su pensamiento lógico matemático no se exponga a una
dependencia excesiva de estos, e influya en que, por motivos del acceso
fácil a los equipos informáticos, los utilicen siempre, incluso para la
realización de operaciones elementales de multiplicación y división de
cantidades enteras, situación que se agrava por la extrema confianza
que tienen los estudiantes en los resultados obtenidos mediante las
máquinas. Generalmente, no comprueban mediante algún proceso adicional
los resultados de las operaciones efectuadas, por considerar que
mantienen un nivel incuestionable de acierto y, más aún, en ningún
momento efectúan una validación lógica de los valores que se mantienen
como solución del problema planteado.
Es importante recalcar que la tecnología mantiene ciertas funciones
específicas, entre las cuales se destaca, a criterio del autor, la
función simbólica de los objetos tecnológicos; esta situación se
demuestra cuando la función principal de los objetos tecnológicos no es
la de satisfacer las necesidades básicas de las personas y, más bien,
se convierten en medios para establecer estatus social y relaciones de
poder.
En los estudiantes universitarios este fenómeno se presenta de manera
reiterada y se puede avizorar mediante las preferencias que tienen en
la adquisición de equipos tecnológicos, como teléfonos celulares con
alta tecnología y precios muy elevados, sobre la adquisición de equipos
tecnológicos utilizados como complementos de los estudios superiores;
la mayor cantidad de estudiantes poseen teléfonos móviles caros a pesar
de no tener un computador o una calculadora científica para ser
utilizada en sus estudios, lo cual sugiere que la función simbólica de
la tecnología está superando a la función de aplicación técnica de la
misma.
En estudios realizados se pudo observar que de cada 60 estudiantes
pertenecientes a carreras administrativas, 52 poseen teléfonos
celulares con alta tecnología, cuyos precios fluctúan entre 200 a 700
dólares norteamericanos, y no poseían un computador para sus estudios o
una calculadora científica para efectuar cálculos numéricos.
El lector del presente ensayo se preguntará ¿cuál es el motivo de
presentar esta información relacionada con la posesión de equipos
tecnológicos? ¿Qué relación tiene lo expresado con el tema del ensayo
que se expone?
El análisis efectuado sirve para comprender la lógica del pensamiento
que poseen los estudiantes universitarios a la hora de adquirir
herramientas tecnológicas para su uso particular, situación que,
eventualmente y de la mano de factores como los medios de comunicación,
la subcultura del consumo y la publicidad, entre otros posibles, se
convierten en un problema para los estudios, y afectan de manera
directa el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje.
Observaciones realizadas en las aulas de clases, tomando como objeto de
análisis a los 52 estudiantes identificados como tenedores de teléfonos
con alta tecnología, permitieron corroborar en varias sesiones de
trabajo que el 95% de los investigados no se concentraban en los temas
tratados por el profesor y, precisamente, eran aquellos que mantenían
prendidos sus equipos, lo cual les originaba evidentes
desconcentraciones; el 5% de estudiantes que poseen equipos celulares
con alta tecnología y que están concentrados en clases, son aquellos
que mantienen los equipos apagados durante el desarrollo de las clases.
Esta situación se agudizó cuando los temas tratados implicaban
necesariamente el uso del pensamiento lógico matemático.
Las valoraciones antes expuestas no tienen la intención de mostrar que
las tecnologías son la causa de la desconcentración de los estudiantes
durante el proceso de enseñanza aprendizaje, pero sí corroboran el
supuesto de su incidencia.
Relación de los estudios con los métodos de la tecnología
Los métodos difieren según se trate de tecnologías de producción
artesanal o industrial de artefactos, de prestación de servicios, de
realización u organización de tareas de cualquier tipo, lo cual puede
incidir en la clasificación de la tecnología aplicada con base en la
complejidad que posee; esta afirmación es importante para la educación
universitaria por cuanto es innegable que en muchas instituciones de
estudios superiores no existe la suficiente tecnología que permita
formar adecuadamente a los profesionales, lo cual evidentemente se
constituye en una contradicción externa entre las exigencias del
mercado laboral en relación con el manejo de equipos tecnológicos y la
enseñanza que reciben los estudiantes respecto al uso de los equipos,
lo que está en discusión en el presente ensayo es la utilización de
equipos tecnológicos en situaciones educativas que impliquen uso del
pensamiento lógico matemático.
La ineficiente capacitación en manejo de equipos tecnológicos que se
utilizarán en futuras labores profesionales es una situación problema
que se mantiene en los actuales momentos y que afecta, con mayor
incidencia, a los estudiantes que por su condición socio económica no
tienen en sus casas equipos de importante utilización como las
computadoras.
Se pudo comprobar mediante visitas a las casas de los 60 estudiantes
investigados, que 18 de ellos no tienen computadoras en sus casas y,
precisamente, son ellos quienes mantienen mayores dificultades en el
manejo de este tipo de equipos tecnológicos; sin embargo, mantienen
niveles de razonamiento lógico superior a quienes poseen computadoras
en sus casas, lo cual se evidencia mediante las puntuaciones más
elevadas alcanzadas en los test de razonamiento numérico a los cuales
fueron sometidos todos los estudiantes investigados.
Un método común a todas las tecnologías de fabricación es el uso de
herramientas e instrumentos para la construcción de artefactos, en este
uso definitivamente se plantean situaciones problemáticas que requieren
una capacidad lógica numérica por parte de los profesionales formados
en las universidades para solucionarlas. Las tecnologías de prestación
de servicios, como el sistema de suministro eléctrico, hacen uso de
instalaciones complejas a cargo de personal especializado. Las máquinas
herramientas son combinaciones complejas de varias herramientas
gobernadas (actualmente, muchas mediante computadoras) por información
obtenida desde instrumentos, también incorporados en ellas.
Es notorio que existe una notable relación entre el pensamiento lógico,
la solución de problemas y la invención de artefactos; el enlace
armónico de estas categorías debe ser uno de los objetivos prioritarios
en la formación técnica humanista de los estudiantes universitarios; la
invención de equipos tecnológicos para mejorar el desarrollo socio
económico del entorno debe convertirse en una meta a conseguir mediante
el desarrollo del razonamiento lógico. Como se evidencia, el
razonamiento lógico matemático mantiene una correlación positiva alta
con la creatividad de las personas y, por ende, con su nivel de
invención de nuevos artículos o bienes que posteriormente sirven para
cubrir necesidades que se presentan en las tareas cotidianas.
Según el científico I. Asimov (1958), inventar exigía trabajar duro y
pensar firme. Por su parte, J.P. Guilford (1958), destacado estudioso
de la psicología de la inteligencia, identifica como las principales
destrezas de un inventor las incluidas en lo que denomina aptitudes de
producción divergente. Guilford propone un modelo de inteligencia que
permite su análisis factorial, cuyas dimensiones son tres:
1 Proceso intelectual: actividad que realiza una persona para convertir
la información en conocimiento.
2 Producto intelectual: conformación u organización de la información
según un orden de complejidad.
3 Contenido de información.
Es un modelo íntegro que considera tanto a la inteligencia como a la
información para poder definir más el concepto de habilidad mental, que
es el resultado de la combinación de un proceso, un producto y un
contenido de información. Gracias a este modelo, es posible lograr
aplicaciones para medir y desarrollar las habilidades intelectuales
como herramientas fundamentales del aprendizaje. Toma como punto de
partida un análisis de cómo actúa el sistema cognitivo al resolver
problemas. Para ello, establece tres categorías, cuyas intercepciones
dan lugar a cada aptitud:
Operaciones: Tipo de proceso intelectual (valoración, producción
convergente, producción divergente, retención de memoria, registro de
memoria, cognición).
Contenidos: Tipo de información con el cual se trabaja (visual,
auditivo, simbólico, semántico, comportamental).
Productos: Forma que adopta la información en el procesamiento que el
organismo hace de ella (unidades, clases, relaciones, sistemas,
transformaciones, implicaciones).
Tipos de tecnología
El pensamiento lógico matemático es una facultad que le permite a una
sociedad incrementar el desarrollo tecnológico que posee, y que se
puede considerar como tecnología dura o tecnología blanda, dependiendo
del campo de aplicación del cual se derive; muchas veces, la palabra
tecnología se aplica a la informática, la micro eléctrica, el láser o a
las actividades especiales, tecnologías que son consideradas como duras
por el entorno social y son reconocidas como tal en función de las
ciencias que la estructuran; generalmente, la sociedad reconoce como
tecnologías duras a aquellas que se derivan de ciencias como la física,
química y la informática.
Sin embargo, la mayoría de las definiciones que se conocen también
permiten e incluyen a otras, a las que se suele denominar como blandas.
Las tecnologías blandas -en las que su producto no es un objeto
tangible, como los servicios- pretenden mejorar el funcionamiento de
las instituciones u organizaciones para el cumplimiento de sus
objetivos. Dichas organizaciones pueden ser empresas industriales,
comerciales o de servicio, instituciones con o sin fines de lucro,
instituciones privadas o públicas, etc.
Entre las ramas de la tecnología llamadas blandas se destaca de manera
evidente la educación (en lo que respecta al proceso de enseñanza),
puesto que mediante el proceso de enseñanza aprendizaje se capacita a
las personas en conocimientos técnicos que les permitirá crear bienes o
servicios para satisfacer necesidades del entorno social donde se
desenvuelven; igualmente, dentro de este tipo de tecnología se
contempla la organización, la Administración, la Contabilidad y las
Operaciones, la Logística de producción, el Mercadeo, la Estadística,
la Psicología de las relaciones humanas y del trabajo, y el Desarrollo
de programas de cómputo que utilizan las organizaciones. En términos
generales, las tecnologías blandas se fundamentan en ciencias blandas,
como la Sociología, la Pedagogía, la Economía o la Administración.
Existen otras clasificaciones de la tecnología que son muy reconocidas
por la sociedad, entre las cuales se cita a las llamadas tecnologías
apropiadas (Tecnología adecuada). Se considera que una tecnología es
apropiada cuando tiene efectos beneficiosos sobre las personas y el
medio ambiente. Aunque el tema es hoy objeto de intenso debate (y
probablemente seguirá siéndolo por mucho tiempo), hay acuerdos bastante
amplios y definidos por los integrantes de la sociedad respecto a las
principales características que una tecnología debe tener para ser
social y ambientalmente apropiada:
•No causar daño previsible a las personas, ni daño innecesario a las
restantes formas de vida (animales y plantas).
•No comprometer de modo irrecuperable el patrimonio natural de las
futuras generaciones.
•Mejorar las condiciones básicas de vida de todas las personas,
independientemente de su poder adquisitivo.
•No ser coercitiva y respetar los derechos y posibilidades de elección
de sus usuarios voluntarios y de sus sujetos involuntarios.
•No tener efectos generalizados irreversibles, aunque estos parezcan a
primera vista ser beneficiosos o neutros.
Los conceptos tecnologías apropiadas y tecnologías de punta son
completamente diferentes. Las tecnologías de punta, término
publicitario que enfatiza la innovación, son usualmente tecnologías
complejas que hacen uso de muchas otras tecnologías más simples, y se
encuentran presentes en los bienes y servicios que aplican situaciones
noveles y mejoradas respecto de las existentes en su respectivo mercado
de consumo.
Para efectos de ampliar el tema de discusión propuesto en el presente
ensayo, es necesario incrementar las argumentaciones sobre el
pensamiento lógico y exponer aportaciones de teóricos en relación con
el tema que, sin lugar a dudas, son referencias científicas importantes
que hay que considerarlas para un mejor sustento de las exposiciones de
criterios que se efectúan.
Pensamiento lógico
Cuando se asume algún concepto sobre pensamiento lógico, es necesario
considerar que el acto de pensar es aquel que pone en funcionamiento el
cerebro humano para permitirle conocer, imaginar, abstraer, analizar o
comparar el mundo que lo rodea o inventarse fantasías.
El pensamiento lógico puede y debe ser desarrollado desde el proceso de
enseñanza aprendizaje, como un requisito importante para el estudiante
una vez egresado se desempeñe con eficiencia dentro del campo laboral,
puesto que, no se concibe un profesional eficiente sin un sentido
creativo y desarrollo lógico que les permita enfrentar situaciones
problemáticas que se presentan cotidianamente y sobre las cuales debe
asumir decisiones que tendrán un efecto sobre la organización en la que
labora.
El desarrollo del pensamiento lógico requiere un entrenamiento y
constante capacitación, las personas no nacemos con un sentido lógico
de las cosas; el entrenamiento del pensamiento lógico, sobre todo el
matemático, requiere concentración y tiempo de dedicación, por lo que,
durante esta etapa de “gimnasia mental” que deben realizar los
estudiantes, no es recomendable que utilicen equipos tecnológicos que
generalmente se consideran como herramientas pedagógicas
complementarias; la ejercitación del pensamiento lógico matemático de
los estudiantes universitarios se la puede realizar con base en un
sistema de tareas profesionalizantes que mantengan un nivel de
complejidad ascendente y que implique situaciones problemáticas que los
estudiantes puedan resolver sin necesidad de la aplicación de
operaciones aritméticas o algebraicas que requieran fundamentos
matemáticos importantes para su solución. Es necesario destacar que una
forma de manifestación del pensamiento lógico es la capacidad de
abstracción del individuo.
El doctor Miguel Palacios Frugone considera que los niños solo poseen
pensamientos concretos: entienden lo que ven, por lo cual para
comprender, por ejemplo, que dos más dos son cuatro, se necesita
mostrarles dos objetos, y luego añadir otros dos ante su vista; en el
caso de los estudiantes universitarios, estos ya poseen un nivel de
abstracción que les permite comprender situaciones con las cuales
convive diariamente y establecer conclusiones sobre las mismas, lo cual
indudablemente es diferente entre uno y otro estudiante debido a los
variados niveles de subjetividad que poseen los estudiantes, los cuales
se derivan de los diferentes entornos sociales en los cuales se
desenvuelve.
El pensamiento lógico es indispensable para solucionar los problemas
cotidianos y para el avance de la ciencia, pues significa sacar
conclusiones de las premisas contenidas en ellas, pero no observables
en forma directa.
La Lógica es una ciencia universal y formal, que ayuda a realizar
razonamientos válidos, pues estudia las formas del pensamiento con
independencia de su contenido. Esto es así, ya que el pensamiento
lógico busca que, dado un conjunto de premisas, se llegue a una
conclusión válida, analizando, comparando, sintetizando luego las
partes separadas para el análisis, argumentando las conclusiones a las
que se arriba, pues no son productos de la invención, sino que surgen
de comprobaciones, lo cual significa que cuando se aplica la lógica se
deja sin validez aseveraciones que no cumplan con un proceso válido
demostrativo. Para tener un pensamiento lógico se debe partir de
enunciados para construir otros correctamente deducidos,
independientemente de su veracidad. El objeto de estos razonamientos es
la demostración, a la que se llega por deducción.
Cuando decimos en el lenguaje cotidiano que algo resulta lógico es
porque se nos aparece como la conclusión razonable de lo que le
antecedió, la idea de las tareas profesionalizantes es desarrollar en
los estudiantes universitarios una habilidad que les permita resolver
problemas matemáticos de manera lógica y deductiva, aun cuando tenga la
necesidad de aplicar complejos algoritmos o utilizar equipos
tecnológicos como las computadoras o calculadoras.
Según A. Rincón (1979) se entiende por pensamiento lógico matemático al
conjunto de habilidades que cada individuo debe tener para resolver
ciertas operaciones básicas, analizar información, hacer uso del
pensamiento reflexivo y del conocimiento del mundo que lo rodea, para
aplicarlo a su vida cotidiana.
Resolución de problemas
La resolución de problemas es un proceso mental que supone la
conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la
identificación del problema y su modelado. Por problema se entiende un
asunto del que se espera una solución que dista de ser obvia a partir
del planteamiento inicial. Considerada como la más compleja de todas
las funciones intelectuales, la resolución de problemas ha sido
definida como un proceso cognitivo de alto nivel que requiere de la
modulación y control de habilidades más rutinarias o fundamentales en
los estudiantes.
La resolución de problemas reside, principalmente, en dos áreas que en
muchas ocasiones mantienen una importante correlación debido a las
singularidades que las caracterizan: la resolución de problemas
matemáticos y la resolución de problemas personales (en los que se
presenta algún tipo de obstáculo a su resolución).
La resolución de problemas matemáticos es considerada la parte más
esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de
problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las
matemáticas en el mundo que les rodea, en el caso de los estudiantes
universitarios, los problemas matemáticos a solucionar deben mantener
coherencia con el entorno laboral de cada profesión, de manera que no
estén descontextualizados y afecten la percepción de practicidad lógica
que se asume respecto de la profesión en la cual se están formando.
Desde la época de George Pólya (1945) hasta la fecha, son muchos los
docentes e investigadores que se han dedicado a buscar respuestas a las
dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas
matemáticos, que significa para muchos un placer y para otros una
pesadilla, pero lo cierto es que el ser humano no siempre puede evadir
el enfrentamiento con ellos, por lo que es necesario desarrollar
habilidades para resolverlos.
El desarrollo de las tecnologías de cómputo coloca en primer plano la
capacidad de usarla, si se considera su utilización en la resolución de
problemas, pero, además, si es utilizada de manera adecuada favorece la
asimilación de conocimientos, teniendo en cuenta las posibilidades de
acceso a la información que brinda, de procesamiento, de divulgación y
socialización, etc.
Sin embargo, los actuales mercados laborales valoran más la utilización
eficiente de los equipos tecnológicos sobre los conocimientos teóricos
que se posean de la ciencia; las empresas prefieren contratar personas
con alta capacidad de resolución de problemas operativos laborales,
relegando a un segundo plano a las personas con altos niveles de
conocimiento científico.
Por esta razón, la capacidad de resolver problemas se ha convertido en
el centro de la enseñanza de la matemática en la época actual, por lo
que es necesario contar con una concepción de su enseñanza que ponga en
primer lugar la capacidad de resolución de problemas y el desarrollo
del pensamiento lógico. A partir de estas ideas centrales es que debe
ser determinado el contenido de la enseñanza, por lo que, en ese
sentido y dentro de la educación universitaria, resulta pertinente la
búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico matemático mediante la
aplicación de un sistema de tareas profesionalizantes que eviten la
utilización de equipos tecnológicos.
En la bibliografía sobre resolución de problemas existen diversas
definiciones de problemas, atendiendo cada una a diferentes puntos de
vista, aunque diferentes conceptualmente, presentan elementos comunes o
al menos no contradictorios. En general, todas coinciden en señalar que
un problema es una situación que presenta dificultades para las cuales
no hay solución inmediata.
Este problema es muy importante para la didáctica, pues en la selección
de los problemas para proponer a un grupo de estudiantes hay que tener
en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los
conocimientos que las personas requieren para su solución.
Otro aspecto importante a tener en cuenta es que la persona quiera
realmente hacer las transformaciones que le permiten resolver el
problema, lo que significa que si no está motivada, la situación
planteada deja de ser un problema al no sentir el deseo de resolverlo;
en resumen, en la solución de problemas hay al menos dos condiciones
que son necesarias: la vía tiene que ser desconocida y el individuo
quiere resolver el problema.
Fases para resolver un problema matemático
Finalmente, es necesario acotar que para resolver problemas no existen
fórmulas mágicas que aseguren contundente que se encontrará la
solución; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que
aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema, todo
depende de la capacidad lógica desarrollada por los estudiantes y por
el nivel de interés que mantengan sobre la solución del problema
planteado, a pesar de lo cual se puede considerar, como un buen
referente, la formulación que hizo Pólya de las cuatro etapas
esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto
de arranque de todos los estudios posteriores y actuales relacionados
sobre la resolución de problemas.
A continuación, se expone de manera sintética el trabajo de Pólya
(1965) que, a criterio del autor del presente trabajo, adolece de la
consideración del nivel del nivel de desarrollo del pensamiento lógico
que poseen los estudiantes, por lo que las etapas establecidas no
surtirían los mismos efectos en todos los estudiantes por las
diferencias del sentido lógico citada:
Comprender el problema. Para la comprensión del problema el estudiante
tendrá que realizar una lectura detallada, para separar lo dado de lo
buscado, lograr hallar alguna palabra clave u otro recurso que permita
encontrar una adecuada orientación en el contexto de actuación,
expresar el problema con sus palabras, realizar una figura de análisis,
establecer analogías entre el problema y otros problemas o entre los
conceptos y juicios que aparecen en el texto y otros conceptos y
juicios incorporados al saber del individuo, o transferir el problema
de un contexto a otro.
Analizar el problema. Para ello, el estudiante deberá analizar
nuevamente el problema para encontrar relaciones, precisando e
interpretando el significado de los elementos dados y buscados. Los
relacionará con otros que puedan sustituirse en el contexto de
actuación. Generalizará las propiedades comunes a casos particulares,
mediante la comparación de estos sobre la base de la distinción de las
cualidades relevantes y significativas de las que no lo son. Tomará
decisiones, al tener que comparar diferentes estrategias y
procedimientos para escoger el más adecuado.
Solucionar el problema. Para la realización de esta acción el
estudiante deberá: aplicar a la solución de los elementos obtenidos en
el análisis del problema.
Evaluar la solución del problema. El sujeto deberá analizar la solución
planteada, contemplando diferentes variantes para determinar si es
posible encontrar otra solución, verificando si la solución hallada
cumple con las exigencias planteadas en el texto del problema.
Es preciso destacar que estas etapas no se dan separadas, aisladas
entre sí, sino muy estrechamente unidas con un carácter de espiral, lo
cual significa que una fase depende de la anterior para poder ser
desarrollada.
Igualmente, es importante señalar que a pesar del abordaje que realiza
Pólya en las estrategias a seguir para la resolución de problemas, este
no ofrece una clara definición respecto de lo que se considera un
problema en el libro “How to solve it”; sin embargo, en el año 1961,
con su libro Mathematical Discovery, Pólya evidencia una definición
sobre lo que es un problema, y la define aquella situación que requiere
la búsqueda consciente de una acción apropiada para el logro de un
objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata.
En otras palabras, una situación, cuantitativa o de otra clase, a la
que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para
la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca
a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).
En el año 1966, Pólya brinda un nuevo aporte significativo a la
enseñanza de la matemática, en particular, a la resolución de problemas
matemáticos y complementariamente al razonamiento lógico numérico a
criterio del autor del presente proyecto, con su libro, “Matemáticas y
razonamiento plausible”, donde expone cómo la construcción matemática
puede ser aprovechada para su enseñanza, es decir, cómo las estrategias
seguidas por un profesional en matemática, que Pólya denomina
“razonamientos plausibles” pueden permitirle a un estudiante aprender
matemáticas de manera más rápida y sólida.
De igual manera, Pólya establece un enfoque basado en el desarrollo de
estrategias heurísticas, delimita claramente las condiciones que debe
poseer un problema para que se derive un aprendizaje significativo,
pues sugiere que un problema debe permitirle al estudiante recurrir a
problemas análogos para encontrar una solución, realizar conjeturas,
generalizar, entre otras. En síntesis, todos los trabajos de Pólya se
enfocan en las características fundamentales que debe presentar un
problema, así como en el impacto cognitivo que genera la resolución de
problemas en los procesos de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes,
entre los cuales se encuentran los estudiantes de las universidades que
reciben una formación profesional que los capacita para la adopción de
decisiones que tienen repercusiones en los resultados de una
organización.
Ante las aseveraciones de Pólya, surge la presencia de Schoenfeld
(1985), quien en su libro “Mathematical Problem Solving”, considera
insuficientes las estrategias planteadas por Pólya para la resolución
de problemas y, más bien, sostiene que este proceso es más complejo e
involucra más elementos, inclusive de carácter emocional-afectivo,
psicológico, sociocultural, entre otros. Schoenfeld establece la
existencia de cuatro aspectos importantes que intervienen en todo
proceso de resolución de problemas: los recursos (entendidos como
conocimientos previos, o bien, el dominio del conocimiento), las
heurísticas (estrategias cognitivas), el control (estrategias
metacognitivas) y el sistema de creencias.
Los recursos refieren al conocimiento matemático que un estudiante es
capaz de brindar en la resolución de un problema, es decir, que para
resolver problemas, necesariamente un estudiante debe poseer un nivel
de conocimientos que le permitan tal cometido. Las estrategias
heurísticas son reglas o planteamientos generales que ayudan en el
abordaje de un problema; este aspecto fue ampliamente considerado por
Pólya en su libro “Matemáticas y razonamientos plausibles”. La manera
en que los estudiantes utilizan la información y las estrategias
heurísticas que poseen para resolver un problema es lo que Schoenfeld
denomina control, este involucra conductas de interés tales como:
planificar, seleccionar metas y submetas y monitoreo constante durante
el proceso de resolución.
Finalmente, Schoenfeld establece un aspecto transversal en la
resolución de problemas y lo denomina sistema de creencias, que
consiste en el conjunto de ideas o percepciones que los estudiantes
poseen a cerca de la matemática y su enseñanza, es decir la
subjetividad que posee una persona en relación con los problemas
matemáticos, está comprobado que si un estudiante piensa que resolver
un problema es una actividad difícil y compleja, pues seguramente
tendrá complicaciones en entender un problema, plantear un algoritmo
para solucionarlo y encontrar la solución real y lógica.
Es necesario acotar que en todas las ideas de Pólya y Schoenfeld
relacionadas con la resolución de problemas matemáticos mediante la
aplicación de habilidades lógicas desarrolladas en un estudiante, no
contemplan la intervención de equipos y elementos tecnológicos, y se
debe a que los autores realizaron sus respectivos trabajos
investigativos en épocas y situaciones en las cuales no existía una
alta influencia de la tecnología en los procesos de enseñanza
aprendizaje.
Actualmente, la situación que se vive en las aulas universitarias es
diferente y se evidencia con la masiva presencia de equipos
tecnológicos que utilizan los estudiantes como herramientas dentro de
su formación profesional, por lo que resulta viable el replanteo de las
ideas de los autores citados, para enmarcarlas dentro de un entorno
pedagógico poblado de tecnología y un entorno laboral lleno de demandas
de habilidades relacionadas con el dominio de equipos y programas
tecnológicos para un desenvolvimiento profesional óptimo.
El razonamiento lógico matemático, que se desarrolla en los estudiantes
universitarios, mantiene un grado de influencia evidente de la
tecnología, por lo que resulta estratégicamente pedagógico plantearse
en los diferentes niveles de estudios superiores un conjunto de tareas
profesionalizantes que observen el uso gradual y secuencial de los
equipos tecnológicos necesarios para desarrollar capacidades que les
permitan insertarse a los egresados de las universidades en el campo
laboral, sin que este uso signifique un obstáculo para el aumento de la
capacidad lógica resolutiva que deben poseer las personas dentro de un
entorno socio económico.
Síntesis y reflexiones finales
Existen varias razones que pueden ser utilizadas por el profesor
universitario en su estrategia para la motivación de sus estudiantes en
relación con el desarrollo del pensamiento lógico matemático, como: el
papel de la solución de problemas matemáticos en situaciones de la
vida, el papel que ha desempeñado la matemática, en general, y la
solución de problemas en particular, en el propio desarrollo de la
historia de la matemática como ciencia y la función desarrolladora de
los problemas y su contribución al desarrollo intelectual del futuro
profesional y específicamente sobre la formación de su pensamiento.
Las motivaciones en este campo son llamadas motivaciones extra
matemáticas, para que resulten verdaderamente interesantes los
problemas deben representar situaciones actuales y del entorno,
ajustarse estrictamente a la realidad, no requerir de equipos
tecnológico para su solución y ser asequibles para los estudiantes, sin
perder de vista que las dificultades que se incluyan deben ir
aumentando periódicamente para efectos del entrenamiento progresivo del
pensamiento lógico matemático que se pretende desarrollar en los
estudiantes como una función de fundamento de la posterior actuación
laboral. A manera de conclusiones, el autor del trabajo asume las
siguientes:
•El desarrollo del pensamiento lógico, la solución de problemas
matemáticos y la invención de equipos tecnológicos están
interrelacionados de manera directamente proporcional y positiva.
•Los estudiantes que tienen acceso fácil a equipos tecnológicos
educativos demuestran mayor dependencia para solucionar problemas
matemáticos, lo cual es un obstáculo para el desarrollo de sus
capacidades de razonamiento lógico.
•Los estudiantes con dificultades para adquirir equipos tecnológicos
demostraron mayor capacidad de razonamiento lógico en las pruebas de
solución de problemas y esto se debe a la obligada actitud de
dependencia personal que poseen.
•La motivación es importante para el desarrollo de la capacidad de
solución de problemas que tienen los estudiantes, lo cual se evidenció
con mayor incidencia en los estudiantes de las universidades estatales,
quienes demostraron mayor interés e importancia a los contenidos y
conocimientos adquiridos como parte de su formación profesional.
•Es necesario que los estudiantes ejerciten el pensamiento lógico
matemático mediante un sistema de tareas profesionalizantes que les
permita solucionar problemas con o sin la utilización de equipos
tecnológicos.
Referencias
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España: Alianza Editorial.
Guilford, Joy Paul. (1977). La naturaleza de la inteligencia humana.
Buenos Aires, Argentina: Editorial Paidos.
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mathematics. National council of teachers of mathematics. Year Book.
Virginia: Reston
Palacios Frugone, Miguel. (2010). La psicología de un hombre llamado
Jesús. Guayaquil, Ecuador: Ediciones Cultura y Didáctica S.A.
Pólya, George. (1945). How to solve it. Princeton, NJ, Estados Unidos:
Princeton University Press.
Pólya, George. (1961). Mathematical Discovery: On Understanding,
Learning and Teaching Problem Solving (Combined Edition). Cleveland,
Ohio: John Wiley & Sons.
Pólya, George. (1965). Cómo Plantear y Resolver Problemas. México:
Editorial Trillas
Pólya, George. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid:
Tecnos.
Rincón, Ana. (1979). Desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Bogotá, Colombia: Editorial Planeta.
Schoenfeld, Alan H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando, FL:
Academic Press.
Correspondencia a:
Rafael Bermúdez Tacunga. Docente de la Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí, Ecuador.
Dirección electrónica: rafabermudez12@yahoo.com
Ensayo recibido: 11 de octubre, 2013 Devuelto para corrección: 11 de
noviembre, 2013 Aprobado: 15 de mayo, 2014