Eurico Wongo Gungula¹
Raquel Dieguez Batista²  
Eglys Pérez Ugartemendía³

1. Investigador Académico, Universidad Agostinho Neto, Angola. Dirección electrónica: euricowongowongo@gmail.com
2. Profesora Titular, Universidad de Ciego de Ávila, Cuba.
3. Profesora Auxiliar, Universidad de Ciego de Ávila, Cuba.

Dirección para correspondencia

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Resumen

El presente artículo es síntesis del aporte práctico de una tesis doctoral desarrollada en la dinámica del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior, realizada en la Universidad de Oriente, Cuba, desde Septiembre de 2010 hasta Junio de 2014. Para su implementación en la práctica educativa se diseñó una serie de acciones conducentes al desarrollo del pensamiento interpretativo de los estudiantes universitarios, pautadas esencialmente en la socialización de procedimientos de resolución de problemas matemáticos y de interpretación de los resultados en correspondencia con las necesidades de aplicación en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión. El enfoque metodológico seguido en su desarrollo y ejemplificación práctica es fundamentalmente cualitativo, pautado en la investigación-acción, como un tipo de investigación social basada en la observación de fenómenos asociados a la acción y la resolución de problemas concretos, donde la participación activa y comprometida del investigador y demás implicados en el proceso, juegan un rol fundamental en su transformación. Su objetivo es contribuir al perfeccionamiento del proceso de formación matemática en la educación superior angolana, dadas las insuficiencias que se aprecian en este contexto, que obligan a contratar sistemáticamente profesores formados en universidades extranjeras para garantizar la continuidad del proceso formativo, principalmente en los últimos años de las carreras de Licenciatura en Matemática. Los resultados obtenidos evidencian el rol de la contextualización de los contenidos, ejercicios, problemas y su interpretación lógica, como herramienta indispensable para el perfeccionamiento de la formación profesional de los futuros profesores de Matemática.

Palabras clave: Formación Interpretativa,  Formación Matemática, Contextualización, Aplicación Práctica, Formación de Profesores, Angola.

Abstract

This article is a synthesis of the practical contribution to a doctoral thesis developed in the interpretive formation process in Superior Mathematics, held at the University of Oriente, Cuba, from September 2010 to June 2014. For its implementation in the educational practice, a series of actions leading to the improvement of interpretive thinking of the university students were designed essentially patterned in the socialization processes of mathematical problem solving and interpretation of results corresponding to application needs in the solution of concrete problems of life and profession. The methodological approach followed in its development and practical exemplification is primarily qualitative, scheduled in action research as a type of social research based on observation of phenomena associated with the action and resolution of specific problems, where the active and committed participation of the researcher and others subjects involved in the process, play a fundamental role in its transformation. Its aim is to improve the mathematical formation process in Angolan higher education, given the shortcomings that can be seen in this context, obliging systematically to hire teachers trained in foreign universities to ensure the continuity of the formative process, especially in the last years of a mathematics degree. The obtained results show the role of content contextualization, exercises, problems and its logical interpretation, as an indispensable tool to improve the professional formation of the future mathematics teachers.

Key words: Interpretive Formation, Mathematical Formation, Contextualization, Practical Application, Teacher Formation, Angola.

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1. Introducción

Durante muchos años ha constituido una preocupación de los estudiantes que se forman en los Institutos Superiores de Ciencias de la Educación en Angola (ISCED-Angola), para desempeñarse como profesores de Matemática en los niveles de enseñanza media y superior, los bajos niveles de contextualización que se logran en los problemas matemáticos abordados en clases y de interpretación de los resultados en correspondencia con las necesidades de aplicación práctica en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión.

Estas insuficiencias se repercuten en su desempeño profesional, fundamentalmente a la hora de revelar lógicamente la transcendencia y las aplicaciones de la Matemática en los procesos de desarrollo socioeconómico de las distintas regiones del país; en el fortalecimiento de las demás áreas del saber, así como la significación práctica de los resultados emergentes de la resolución de los problemas matemáticos planteados.

Producto de la sistematización teórica y metodológica realizada por los autores en los últimos cinco años, relacionada con la problemática expuesta en los párrafos anteriores, se diseñó una estrategia didáctica para el perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior, la cual ha sido implementada inicialmente en la carrera de Licenciatura en Matemática del Instituto Superior de Ciencias de la Educación de Huambo, Angola, (ISCED-Huambo-Angola) y aporta resultados significativos en cuanto a la solución de las insuficiencias reveladas, así como para el desarrollo del pensamiento interpretativo de los estudiantes universitarios.

2. Referentes teóricos

La problemática en la contextualización e interpretación lógica de los contenidos matemáticos y su aplicación en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión, constituyen en la actualidad, temáticas de elevada reflexión y debates científico-metodológicos en Angola.

En los Institutos Superiores de Ciencias de la Educación (ISCED), donde se estudia la carrera de Licenciatura en Matemática en Angola, se observa actualmente un bajo nivel de contextualización en los problemas abordados en clases. Sin embargo, son los encargados del fortalecimiento del proceso de formación matemática en las demás carreras pre-universitarias y universitarias del país, ya sean pedagógicas, económicas, jurídicas o técnicas.

Estas insuficiencias, unidas al acelerado desarrollo científico y tecnológico que ocurre actualmente en el mundo, las exigencias formativas que caracterizan la preparación de los estudiantes que ingresan a la educación superior contemporánea, fundamentan la necesidad de elevar los niveles de contextualización de los contenidos en correspondencia con las necesidades de aplicación práctica, de enfrentar nuevos retos, de resolver e interpretar los múltiples problemas a los que tendrán que buscar soluciones para la satisfacción de sus necesidades, así como para impulsar el desarrollo de sus entornos sociales.

Lo anterior implica tener en cuenta el nivel de desarrollo del pensamiento lógico e interpretativo de cada uno de los estudiantes ante la necesidad de solucionar situaciones concretas de la vida o de la profesión; los conocimientos precedentes que sirven de base para la apropiación de nuevos contenidos; la orientación que brinda el profesor para mejorar los procedimientos de interpretación, así como el grado de significatividad que puede tener para los estudiantes, la contextualización de los problemas y resultados en su formación profesional, al aplicar procedimientos lógicos y coherentes. (Gungula, Torrecilla y Puig, 2013).

Teniendo en cuenta la multiplicidad de formas de comprensión y de análisis, se precisa que la Matemática Superior a la que se hace alusión en este artículo, está enfocada a la que se enseña en la educación superior. En este sentido, la formulación y resolución de problemas contextualizados debe constituirse en objetivo especifico, por el grado de significatividad que puede tener para los estudiantes y profesores, la adecuada comprensión de este aspecto; la argumentación lógica de la relación existente entre la teoría, la práctica y el desarrollo social, como alternativa que posibilita visualizar cada vez más la transcendencia de la Matemática en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión.

Autores como Montenegro (2004), Mora (2005), Fariñas (2006), Da Ponte (2007), Ballester (2009), Quitembo (2010), Gungula y Faustino (2013) entre otros, han realizado significativos aportes encaminados al perfeccionamiento del proceso de formación matemática en la educación superior. De modo general, coinciden en la necesidad del fortalecimiento del proceso de formación matemática mediante el empleo de métodos activos de enseñanza, así como el desarrollo de habilidades lógicas del pensamiento a través de la resolución de problemas.

No obstante, las exigencias formativas y sociales impuestas por el acelerado desarrollo científico y tecnológico evidentes a principios del siglo XXI, revelan inconsistencias en la concepción del perfeccionamiento del proceso de formación matemática con excesiva énfasis en la resolución de problemas matemáticos. Es imprescindible además, encaminar este proceso desde una dinámica que sistemáticamente haga énfasis en la contextualización de los contenidos; en la interpretación de los problemas, así como en la aplicación práctica de los resultados en la solución de problemas concretos de la vida y de la profesión.

Esta necesidad, se sustenta en las limitaciones analíticas e interpretativas que presentan los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Matemática del ISCED-Huambo-Angola, a la hora de revelar la significación práctica de los resultados en un contexto concreto, así como argumentarlos con recurso a los conocimientos y métodos acumulados en la literatura especializada.

Consecuentemente con la necesidad revelada anteriormente, se destaca además, la insuficiente utilización de Asistentes Matemáticos (Programas) para graficar imágenes, resolver problemas complejos, comprobar los resultados, interpretarlos, entre otras aplicaciones. Esta situación, limita la apropiación de los contenidos, así como la visibilidad de los avances de la ciencia y la tecnología moderna en el campo matemático.

Al respecto (Gungula et al. 2013), revela que para cambiar este cuadro, Angola necesita aumentar el número de profesores de Matemática con grados de maestrías y doctorados, para beneficiarse de los avances científicos y tecnológicos en el perfeccionamiento del proceso de formación matemática, así como motivar a una mayor proporción de sus jóvenes hacia el estudio de las carreras de Matemática, ya que en la actualidad, se observa claramente un insignificante número de estudiantes matriculados en dichas carreras, en correspondencia con las necesidades que enfrenta el país, aspecto que obliga al Ministerio de Educación Superior a recorrer sistemáticamente a la contratación de profesores de Matemática formados en universidades extranjeras tales como: Portuguesas, Brasileñas, Vietnamitas, Cubanas, entre otras, para garantizar la continuidad del proceso formativo, fundamentalmente en los últimos años de las carreras de Licenciatura en Matemática.

En este sentido, entre los diferentes investigadores que han presentado modelos que contribuyen al perfeccionamiento del proceso de resolución de problemas matemáticos, en particular, y al proceso de formación matemática, en general, se destacan los siguientes:

•Polya (1945), aporta un modelo que consta de cuatro etapas: comprender el problema; concebir el plan de solución; ejecutar el plan de solución y examinar la solución obtenida.
•Schoenfeld (1985), aporta uno de los modelos más completos, sobre todo en estrategias heurísticas. El mismo consta también de cuatro etapas: análisis, exploración, ejecución y comprobación.
•Fridman (1993), aporta un modelo que comprende: análisis del problema; escritura esquemática del problema; búsqueda del plan de solución; ejecución del plan de solución; investigación del plan de solución; investigación del problema; formulación de la respuesta al problema y análisis final de la solución del problema.
•De Guzmán (2007), aporta un modelo que comprende: la familiarización con el problema; búsqueda de estrategias; llevar adelante la estrategia; revisar el proceso y sus consecuencias.

El análisis realizado en las actividades y acciones principales que se describen para cada una de las etapas propuestas en los modelos de los autores referenciados, permite inferir que el proceso interpretativo se analiza de forma fragmentada, y no como un proceso que atraviesa como eje integrador todas las fases del proceso de resolución de problemas matemáticos. Además, se visualiza que este proceso se ha estudiado como una habilidad lógica y básica de la Matemática y no como un proceso formativo, complejo y dialéctico dentro del proceso de formación matemática, lo que ha limitado su concepción holística, fundamental para lograr la contextualización de la Matemática en toda la realidad objetiva.

Teniendo como base estas inconsistencias, así como la excesiva necesidad de estrategias que contribuyan al perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa del contenido matemático en el contexto angolano fundamentalmente, se diseñó la presente estrategia didáctica (Anexo 1).

Para su estructuración se parte de las aportaciones realizadas por De Armas, Lorences y Perdomo (2003), Montenegro (2004), Hernández (2006), De Guzmán (2007), Fuentes (2009) y Rodríguez (2013) desde una mirada holística y dialéctica donde en términos operativos, los subprocesos planteados como estadios sucesivos en que transita la interpretación lógica del contenido matemático, son consecuentes con los eslabones o momentos revelados en la modelación teórica (Gungula, 2014, pp. 42-57).

En esta propuesta, se asume el concepto de estrategia didáctica, sustentado por las autoras Rodríguez y Rodríguez que la definen como:

La proyección de un sistema de acciones a corto, mediano y largo plazo que permite la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje de una asignatura, tomando como base los métodos y procedimientos para el logro de los objetivos determinados en un tiempo concreto. (s.f., p. 25)

3. Metodología

La necesidad de la estrategia se revela desde el diagnóstico realizado en la carrera de Licenciatura en Matemática del ISCED-Huambo-Angola, durante el curso 2012, donde se identificaron en los estudiantes, acentuadas limitaciones analíticas e interpretativas en los ejercicios y problemas matemáticos tratados en clases, así como la necesidad de apropiación de la lógica de interpretación de los resultados a través de acciones que contribuyan a perfeccionar y a dinamizar este proceso.

En su concepción, se tuvo en cuenta la flexibilidad a cambios que permitan elevar los niveles de perfeccionamiento del proceso de formación matemática en la educación superior, aspecto que permite ajustarla sistemáticamente a las tendencias didácticas, metodológicas y tecnológicas que ocurren constantemente en el mundo y le confiere la confiabilidad necesaria para su instrumentación en la práctica educativa.

Lo anterior es expresión de su concepción como un sistema flexible a cambios sistemáticos, pues, está abierta a innovaciones didácticas, metodológicas y tecnológicas que permitan incrementar las potencialidades del cumplimiento total de los objetivos trazados en su instrumentación, que desde su recursividad, va precisando la relación entre los subsistemas y sus correspondientes componentes.

Por su carácter dinámico, la estrategia está sujeta a la autopoiésis, es decir, su estructuración prevé posibles cambios dentro de sus subprocesos, la retroalimentación de sus acciones, el surgimiento de aspectos inesperados, relacionados fundamentalmente por cambios en la información dentro de ella, y su reajuste, lo cual presupone el análisis crítico, reflexivo y contextual, para que se logren las transformaciones deseadas en los estudiantes, ya sea por el profesor, o por otros actores implicados en su socialización e implementación.

La presente estrategia también está sujeta a la entropía, la cual puede evidenciarse en: resistencia al cambio didáctico y metodológico en su instrumentación. Limitado dominio de los recursos tecnológicos necesarios para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la educación superior.

Como homeostasis se puede prever: el establecimiento de un sistema de acciones didácticas y metodológicas que respondan a la dinámica del proceso de formación interpretativa, así como la orientación procedimental para la instrumentación de la estrategia en la práctica educativa.

La sinergia de la estrategia emerge dada la pertinencia formativa de su aplicabilidad en el proceso de formación matemática en la educación superior. Expresa a su vez, un carácter problematizador, que desde el reconocimiento del carácter contradictorio de cualquier proceso social, se significa mediante las exigencias y condiciones objetivas del contexto formativo donde se extienda su implementación, lo cual requiere el respeto por las diferencias individuales y contextuales, dinamismo, flexibilidad e intercambio sistemático entre los sujetos implicados.

El carácter interactivo necesario en este proceso, responde a la necesidad de materializar las premisas y requisitos para su puesta en práctica, para potenciar la interacción dialógica entre todos los implicados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.

El establecimiento de premisas y requisitos tiene como objetivo: determinar las condiciones tanto favorables como desfavorables que condicionan la concepción y puesta en práctica de la presente estrategia (premisas), así como aquellas que deben ser impuestas para que pueda desarrollarse exitosamente (requisitos).

Consecuentemente con los aspectos anteriores, así como la regularidad específica de la dinámica modelada, (Gungula 2014, p. 59), las premisas serán aquellas condiciones previas y externas al proceso, con existencia independiente a una voluntad determinada. En este sentido, deberán precisarse las siguientes:

•La concientización de los estudiantes y profesores ante la necesidad del perfeccionamiento del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
•La estructuración de los contenidos, procedimientos de resolución de ejercicios y problemas matemáticos que potencien el desarrollo del pensamiento lógico e interpretativo de los estudiantes.
•La motivación de los estudiantes y visión estratégica de los profesores ante la necesidad de contextualización de los ejercicios, problemas y resultados, para que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática sea cada vez más significativo.
•La necesidad de un claustro de profesores altamente críticos y reflexivos, con capacidad plena para comprender la influencia de los avances de la tecnología moderna en la transformación cualitativa del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.

Los requisitos serán aquellas condiciones necesarias e impuestas dentro del proceso como parte de la estrategia y que su comprensión, permita el desarrollo pleno de esta. Estos deben ser consecuentes con las premisas y no pueden estar por encima de las condiciones dadas por ellas, en tanto que no serían elementos dinamizadores del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, al no ser asimilados por los estudiantes y profesores como actores directos del mismo.

En este caso, se precisan tres requisitos básicos tales como:

•La interpretación de los problemas matemáticos y sus soluciones, debe estar favorecida por la riqueza de los conocimientos previos que poseen los estudiantes y las experiencias del profesor como orientador del proceso.
•El proceso de interpretación de ejercicios, problemas matemáticos y sus soluciones no puede ser una labor mecánica, ni premeditada, sino lógica, consciente de los resultados y del impacto que puede tener en la transformación de la sociedad.
•La conducción del proceso de formación interpretativa, en el ámbito matemático, debe estar pautado por la problematización, la contextualización, la interacción dialógica, así como por el elevado grado de responsabilidad en la atribución de nuevos sentidos y significados.

Por otra parte, es importante precisar los factores contextuales que condicionan el desarrollo del proceso, y por supuesto, aquellas cualidades que explican y singularizan una lógica en el movimiento del objeto. Estos estarán en correspondencia con el propio accionar de los profesores. Abarcarán las potencialidades y limitaciones que poseen los estudiantes en cuanto a la comprensión de la realidad matemática nacional; la identificación y resolución de problemas a partir de sus experiencias y conocimientos previos; la explicación de la transcendencia de la Matemática en el fortalecimiento de las demás carreras, en el desarrollo socioeconómico del país, así como en el desarrollo de nuevas habilidades lógicas de pensamiento.

Al respecto Gungula (2014, p. 15) concibe la realidad matemática, como: "aquellas situaciones problémicas, que se presentan en un contexto determinado, que requieren de la aplicación de contenidos matemáticos, desde su percepción, modelación, solución, hasta su interpretación, para la transformación de la realidad social".

Consecuentemente con lo expuesto anteriormente, se precisan tres elementos claves para el desarrollo exitoso de la presente estrategia:

•Elevar los niveles de participación de todos los implicados en el proceso de formación matemática, ya sean estudiantes, profesores, investigadores, u otros sujetos.
•Ampliar los espacios de intercambios didácticos y metodológicos entre profesores e investigadores en educación matemática.
•Incentivar iniciativas individuales o grupales que revelen el rol de la contextualización de los contenidos matemáticos, ejercicios, problemas y su interpretación lógica en el desarrollo profesional de los estudiantes, así como el adecuado manejo de sistemas computarizados.

Después de establecer las condiciones requeridas para la instrumentación de la estrategia en la práctica educativa, se procede a su estructuración y desarrollo (Gráfico 1), en correspondencia con los referentes asumidos.

4. Resultados y su análisis

Buscando evidencias que confirmen la transcendencia de la temática abordada como resultado de una investigación de naturaleza cualitativa, pautada en la investigación-acción como un tipo de investigación social basada en la observación de fenómenos asociados a la acción y resolución de problemas concretos, (Thiollent 1996), se utilizó el Criterio de Expertos para valorar la pertinencia científica y metodológica de la estrategia didáctica diseñada.

Se seleccionaron de forma intencional 35 posibles expertos, que tuvieran relación directa con la docencia universitaria, proyectos investigativos con la formación matemática de los estudiantes en ramas de las ciencias pedagógicas, de las ciencias económicas e ingenierías que se imparten en las siguientes instituciones: Instituto Superior de Ciencias de la Educación de Huambo, Angola; Universidad Católica de Angola, Luanda; Universidad "Jean Piaget" de Benguela, Angola; Universidad "Máximo Gómez Báez" de Ciego de Ávila, Cuba; Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba.

Para determinar el coeficiente de competencia de cada posible experto, se utilizó la metodología propuesta por el Comité Estatal para la Ciencia y la Técnica de la antigua URSS. En esta, la competencia de cada posible experto (K) se calcula empleando la siguiente fórmula:    , donde (Kc) es el coeficiente de conocimiento y (Ka) el coeficiente de argumentación.

Consecuentemente con dicha metodología, se seleccionaron 30 de los posibles expertos que obtuvieron coeficiente de competencia alta y media.

Para corroborar los resultados y determinar si las transformaciones producidas en la dinámica del proceso de formación interpretativa en la carrera de Licenciatura en Matemática del ISCED-Huambo-Angola, tienen significación estadística con la implementación de la presente estrategia, se realizó la prueba de hipótesis no paramétrica de Wilcoxon para dos muestras relacionadas (antes y después de su aplicación), prefijándose como nivel de significación α = 0,05.

Como resultado de la prueba realizada mediante el empleo del software IBM SPSS Statistics 20, se aprecian diferencias significativas en cuanto a los aspectos encuestados, es decir: el enfoque que utiliza el profesor para abordar los contenidos y propiciar su comprensión; la contextualización de los ejercicios y problemas matemáticos que se resuelven en clases; la interpretación de los resultados y su significación práctica; la utilización de Asistentes Matemáticos, así como la participación de los estudiantes en la búsqueda de alternativas que facilitan la resolución de problemas, pues en dicha comparación la Sig <α (Tabla 1), donde pl.l, p2.1 hasta p9.1 corresponde a las respuestas emitidas por los estudiantes seleccionados antes de la aplicación de la estrategia, y p1.2, p2.2 hasta p9.2 las respuestas emitidas después de su aplicación.
 
Las valoraciones finales emitidas por los expertos a cada uno de los aspectos de la guía sometida muestran un comportamiento caracterizado por altos porcentajes en las categorías de muy adecuada (77,8%) y bastante adecuada (22,2%), aspecto que posibilita apreciar la emisión consensuada de juicios valorativos favorables en cuanto a la pertinencia científica y metodológica de la presente estrategia didáctica.

5. Conclusiones

Resultado de la sistematización teórica y metodológica realizada por los autores del presente artículo en los últimos cinco años en torno al desarrollo del pensamiento interpretativo de los estudiantes universitarios, y de modo particular, al perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior, se presentan las siguientes conclusiones:

•La estrategia didáctica propuesta para el perfeccionamiento del proceso de formación interpretativa en la Matemática Superior, tiene claridad en sus objetivos y acciones. La concepción de la misma es pertinente, dada las limitaciones analíticas e interpretativas presentadas por los estudiantes del primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática del Instituto Superior de Ciencias de la Educación de Huambo, Angola.
•La presente estrategia ha permitido despertar en los profesores de la institución mencionada, la necesidad de superación didáctica, metodológica y tecnológica en correspondencia con los avances científicos y tecnológicos que acurren en el mundo, aspecto que implica la preparación de los futuros profesores, no solo en conocimientos del objeto de la ciencia que se les enseña, sino con conocimientos que impulsen el desarrollo de una visión lógica, global, crítica, reflexiva, tecnológica, argumentativa e interpretativa, que les permita aplicarlos en el enfrentamiento de los problemas que dentro y fuera de la institución educativa deben resolver.
•Ha permitido además, visualizar y fundamentar la necesidad de transformación de la realidad matemática nacional, mediante la construcción de conocimientos basados en la sistematización de experiencias del entorno en que se desarrollan los estudiantes, profesores, investigadores, u otros sujetos.
• Los resultados obtenidos en la aplicación de la estrategia propuesta en la carrera de Licenciatura en Matemática de la institución mencionada, evidencian las potencialidades de su generalización a otros contextos, aspecto revelado por los estudiantes, profesores y expertos consultados, al reconocer la importancia y la necesidad de seguir elevando los niveles de contextualización de los contenidos, ejercicios y problemas matemáticos tratados en clases, para que el proceso de formación interpretativa sea cada vez más significativo para todos los involucrados en la dinámica del proceso de formación matemática.

Agradecimientos

Los autores agradecen al profesor Carlos Manuel Mata Rodríguez por las sugerencias emitidas, la Dirección y Expertos de la Revista Actualidades Investigativas en Educación, por la revisión del artículo y decisión tomada para la socialización de los resultados esenciales de la investigación desarrollada.

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