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www.ucr.ac.cr / ISSN: 2215-2652
JULIO/DICIEMBRE 2022 - VOLUMEN 32 (2)
Ingeniería 32(2): 48-85, Julio-diciembre, 2022. ISSN: 2215-2652. San José, Costa Rica
DOI 10.15517/ri.v32i2.50181
Esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons. Reconocimiento - No Comercial - Compartir Igual 4.0 Internacional
Procesamiento GNSS en el marco geodésico CR-SIRGAS: Inuencia
de las épocas de observación y referencia
GNSS processing in the CR-SIRGAS geodetic frame: inuence of the
observation and reference ephocs
Jorge Moya Zamora
Académico. Universidad Nacional. Heredia, Costa Rica
jorge.moya.zamora@una.cr
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6953-4885
Recibido: 21 de Febrero de 2022 Aceptado: 30 de Mayo de 2022
Resumen
Las observaciones satelitales derivadas de las constelaciones GNSS están totalmente correlacionas con el
instante en la que se realizan las mediciones, sin embargo, los usuarios pueden trasladarlas a diferentes épocas
siempre y cuando se cuente con los parámetros necesarios. La calidad de las mediciones GNSS, en principio,
se verá afectada al llevarlas a una época diferente de la original. En el caso del marco geodésico nacional
de Costa Rica CR-SIRGAS, su época de referencia actual es t0 = 2019,24 [1] pero la georreferenciación
de la información espacial para efectos catastrales debe estar en la época de referencia tk = 2014,59 [2].
Se realizó un proceso de ajuste amarrado en la época ti = 2021,53 usando como observaciones las líneas
base de cada punto nuevo a un máximo de cuatro estaciones CR-SIRGAS con sus respectivas coordenadas
semanales nales. Después, se repitió este ajuste usando los mismos, pero como coordenadas de vínculo
las ociales de la época de referencia t0 implicando una marcada disminución en el peso original de las
observaciones en un factor de 1,5 a 9,5. Además, se logró cuanticar las discrepancias en las coordenadas,
exactitudes y observaciones ajustadas directamente en esta época t0. Finalmente, se aplicaron los parámetros
de transformación ociales dados por [1] para llevar el conjunto de coordenadas de la época t0 a la época tk.
Palabras clave:
CR-SIRGAS, época de observación, época de referencia, factor de reducción, modelos matemáticos.
Abstract
The satellite observations derived from the GNSS constellations are fully correlated with the moment
in which the measurements are made, however, users can transfer them to different epochs as long as the
necessary parameters are available. The quality of the GNSS measurements will, in principle, be affected by
taking them to a different epoch than the original. In the case of the national geodetic frame of Costa Rica
CR-SIRGAS, its current reference epoch is t0 = 2019,24 [1] but the georeferencing of spatial information
for cadastral purposes must be in the reference time tk = 2014,59 [2]. A xed adjustment process was carried
out at the epoch ti = 2021.53 using as observations the baselines of each new point to a maximum of four
CR-SIRGAS stations with their respective nal weekly coordinates. This adjustment was then repeated
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using the same, but as reference coordinates the ofcial reference epoch t0, implying a marked decrease in
the original weight of the observations by a factor of 1,5 to 9,5. In addition, it was possible to quantify the
discrepancies in the coordinates, accuracies and observations adjusted directly at this time t0. Finally, the
ofcial transformation parameters given by [1] were applied to take the set of coordinates from epoch t0 to
epoch tk.
Keywords:
CR-SIRGAS, observation epoch, reference epoch, reduction factor, mathematical models.
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1. INTRODUCCIÓN
La referencia geodésica ocial de Costa Rica, denominada como CR-SIRGAS, corresponde
con un marco geodésico moderno el cual contempla observaciones diarias GNSS tomadas
en las estaciones que lo conforman, el procesamiento semanal de estos datos como parte del
mantenimiento de la red SIRGAS-CON y, por supuesto, las soluciones semanales nales de
coordenadas geocéntricas, las cuales responden a las variaciones físicas que se producen en la
supercie terrestre. La época de referencia, el cambio en las coordenadas geocéntricas semanales
del marco y su inuencia en los procesamientos de datos GNSS fueron aspectos que se tomaron
en consideración en este artículo. La primera determinación del marco geodésico nacional
CR-SIRGAS se redujo a la época 2014,59 y consideró como referencia internacional el IGb2008
[3], mientras que su más reciente actualización está referida a la época 2019,24 vinculado al
marco internacional IGS2014 [1]. Ambas versiones de CR-SIRGAS están sustentadas sobre ocho
estaciones GNSS de operación continua, las cuales son administradas por el Instituto Geográco
Nacional de Costa Rica (IGNCR), representando actualmente la mejor base geodésica que ha
tenido el país. A pesar de ellos, existe una serie de consultas por parte de los profesionales sobre
el traslado a las diferentes épocas de referencia a partir de la época de observación y potenciales
metodologías relacionadas con el proceso de georreferenciación dentro de CR-SIRGAS. Aunque
se pueden aplicar distintos métodos matemáticos para efectuar dicho proceso, como el de
transformación de similaridad o bien una migración generalmente lineal por medio de parámetros
de velocidad, siempre se dependerá de la información que se tenga inicialmente y sobre todo
hacia dónde se quiere hacer el traslado [4]. Adicionalmente, no se debe olvidar la inuencia
que tienen las coordenadas de las estaciones que se usarán como vínculo o referencia para los
distintos procesos de ajustes, así como también las épocas de observación y referencia.
2. MARCO TEÓRICO
A. Principio de la medición GNSS
El principio de la medición GNSS es relativamente sencillo cuando se descartan una serie de
factores físicos e instrumentales. Partiendo de que se cuenta con una constelación de satélites (SV)
cuyas órbitas y, por lo tanto, sus coordenadas en función del tiempo son conocidas y que están
transmitiendo constantemente señales con ciertos códigos y portadoras, el trabajo del receptor en
tierra consiste en identicar primeramente cuáles satélites está captando. Luego, por medio de la
generación interna de una réplica del código de cada satélite, el receptor hace una comparación de estos
dos códigos continuamente hasta encontrar la misma secuencia, es decir, hasta estar sincronizados
[9] y [10]. Adicionalmente la diferencia de tiempo entre el momento de la emisión ts de la señal
desde el satélite y el momento tr de su recepción, multiplicada por la velocidad de la luz en el vacío
c, dará como resultado la distancia r entre el satélite s y el receptor r (ver ecuación (1) [5].
(1)
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B. Posicionamiento puntual por pseudodistancias
Si se asume, por un momento, que el reloj del receptor está sincronizado con el reloj de satélite,
que no hay inuencia de la ionósfera ni la tropósfera y que no se tiene la inuencia de otras fuentes
que afectan aleatoriamente la medición, la ecuación (1) tomará la forma presentada en la ecuación
(2) [5].
(2)
Donde el vector rr=[XrYrZr]T representa la posición de la antena del receptor, es decir las
incógnitas, mientras que el vector r
s
=[X
s
Y
s
Z
s
]
T
contiene las coordenadas de los satélites que
son conocidas. Generalmente, ambos vectores se expresan dentro de un marco tridimensional
coordenado, el cual está centrado y jo a la Tierra conocido generalmente como Earth-centered,
Earth-xed (ECEF) [5]. En la práctica, sin embargo, cuando un receptor GNSS cambia de un satélite
a otro, su reloj interno no está sincronizado con respecto a los relojes de los satélites, por lo tanto, la
medición de la distancia entre el receptor y el satélite estará afectada por esa falta de sincronización
en los relojes del receptor y del satélite dtr y dts, respectivamente, y de ahí su denominación como
pseudodistancias. Lo anterior implica que la distancia geométrica p entre el satélite y el receptor será
igual a la pseudodistancia más una distancia producto de la inuencia de los relojes (ver ecuación
(3)) [8], [9] y [10].
(3)
Aunque los relojes en los satélites sean monitoreados constantemente en la relación con la escala
de tiempo propia de cada sistema, y que esa información se conoce en el mensaje de navegación, se
mantiene la falta de sincronización en los relojes de los receptores dtr, implicando así que la ecuación
(3) adquiera la forma que se presenta en la ecuación (49, es decir, en función de las coordenadas
del satélite, las coordenadas del receptor más una distancia resultado del producto de la falta de
sincronización del reloj del receptor por la velocidad de la luz en vacío.
(4)
En la ecuación anterior, hay un total de cuatro incógnitas, las tres coordenadas (Xr, Yr, Zr) de
la posición de la antena y la falta de sincronización en el reloj del receptor dt
r
, conocida como
estado del reloj del receptor. Su solución matemática necesita conocer al menos un total de cuatro
pseudodistancias. Se tendrá, ahora, un sistema de ecuaciones de tamaño 4 x 4 similar al presentado
en el conjunto de ecuaciones (5) y que requiere ser linealizado [5] y [8].
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(5)
En la ecuación 6, se presentan los coecientes diferenciales del conjunto de ecuaciones (5),
agrupados en la matriz de conguración, generalmente denominada como matriz A.
(6)
El planteamiento de los sistemas de ecuaciones tendrá, generalmente, una mayor cantidad de
datos que incógnitas por lo que, si se cuenta con una cantidad m de satélites en vista (m > 4), la
estimación de las coordenadas del receptor y del estado de reloj estará dado por la ecuación (7).
Donde P es la matriz de pesos de las observaciones de tamaño m × m, la matriz A tendrá ahora
tamaño m × 4, y la matriz Qxx será la matriz de cofactores de las incógnitas de tamaño 4 × 4. El
proceso de solución será iterativo, sin embargo, si la posición inicial es muy cercana a la real,
probablemente no se requiera de más de una sola iteración.
(7)
C. Exactitud de la posición puntual
Los parámetros que permiten estimar la exactitud de las coordenadas del receptor se obtienen
por medio de la matriz de cofactores Qxx del vector solución x. Considerando, inicialmente, una
matriz de pesos P identidad, la correspondiente matriz de cofactores Qxx estará dada por la relación
(A
T
A)
-1
. La diagonal de esta matriz tendrá las varianzas de las coordenadas del receptor y del estado
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del reloj, mientras que los elementos fuera de la diagonal, las covarianzas, representan el grado de
correlación entre las incógnitas como se muestra en la ecuación (8).
(8)
Una serie de elementos estocásticos presentes en la medición de cada distancia, desde el satélite
hasta el receptor, se agrupan en el factor denominado UERE (User Equivalent Range Error) que
se envía en el mensaje de navegación, el cual, en combinación con el parámetro DOP (Dilution Of
Precision), permite hacer una estimación de la exactitud en el posicionamiento de un punto. El DOP
es un escalar indicador de la calidad del proceso de ajuste ligado a la geometría de los satélites que
se tuvieron en vista. Un valor bajo de DOP representa una buena geometría, es decir, con satélites
bien distribuidos en el horizonte, mientras que un valor alto implicará una geometría deciente.
Este factor es llamado, generalmente, pérdida de la precisión geométrica (GDOP), el cual brindará
información de la posición al no considerar el término qtt e informará sobre el parámetro de tiempo
si solamente se considera dicho término [8] y [10]. Los diferentes parámetros DOP se calculan tal
como se muestra en el conjunto de ecuaciones (9).
(9)
Las relaciones anteriores están ligadas a coordenadas cartesianas geocéntricas, sin embargo,
si se requiere de la matriz de covarianza Qneu en un sistema topocéntrico, se debe contemplar la
correspondiente matriz de rotación cuyo planteamiento se puede consultar en [8]. Tanto el UERE
como el DOP son indicadores que dependen de la geometría de los satélites y de los errores en
las pseudodistancias y son solamente una aproximación que limita la propagación aleatoria de los
errores [8].
D. Ampliación de la ecuación de pseudodistancias
En los apartados anteriores, se presentaron las relaciones generales con las cuales se puede obtener
una posición puntual a partir de mediciones GNSS tomando en cuenta una serie de supuestos. Sin
embargo, es conocido que la realidad es muy diferente y que las señales en su tiempo de viaje sufren
una serie de afectaciones que, posteriormente, deben ser contempladas para obtener una posición
con la suciente exactitud como para ser empleada en proyectos geodésicos. Desde esta perspectiva,
la ecuación (3) para la pseudodistancia obtenida por código deberá ampliarse, considerando una
serie de factores adicionales (ver ecuación (10)) [5]. En la misma, Ts
r es el retraso provocado por la
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54
atmósfera neutra (tropósfera), Is
r es el retaso producto de la ionósfera y es
r representa una serie de
errores no modelados como el multicamino, el ruido en el receptor y otros efectos menores.
(10)
Considerando ahora las fases de las portadoras, la ecuación para pseudodistancia está dada en
la ecuación (11) donde l es la longitud de onda de la portadora, Ms
r son las ambigüedades enteras
de las portadoras en ciclos y los retrasos en las fases del receptor y los satélites, por último ε
s
r
representa los errores no modelados en la fase entre los cuales están el multicamino, el ruido en el
receptor y otros efectos menores [5].
(11)
E. Posicionamiento relativo
Dentro de las posibilidades que se ofrecen en las metodologías de levantamiento GNSS, está
la denominada estática relativa por medición de fase en la cual el principio básico consiste en
tener al menos dos receptores que estén observando simultáneamente a un mismo conjunto de
satélites durante un determinado tiempo. La relación directa entre ambos receptores está dada, de
manera geométrica, por la denominada línea base, que es un vector espacial calculado a partir del
procesamiento de las mediciones GNSS en ambos puntos. Por ejemplo, si se tienen dos puntos A y
B, y se asume inicialmente A como jo, se requiere de los incrementos de coordenadas entre ambos.
En la ecuación (12), se presenta el caso concreto para dos puntos A y B [8]-[10].
(12)
El objetivo es determinar dichos incrementos entre los dos puntos considerados, asumiendo uno
de ellos como jo. Estas componentes pueden indistintamente expresarse también como observaciones
elipsoídicas de azimut α, distancia s y diferencia de altura Δh relativa entre los puntos. Este método
de momento continúa siendo el que brinda los mejores resultados en el posicionamiento, ya que el
hecho de hacer las diferencias de las ecuaciones de observación elimina una serie de errores propios
del sistema y otros de origen físico.
Si bien actualmente es posible calcular dicho vector en tiempo real, el enfoque que se abordará
en este documento considera el cálculo del vector producto de un post procesamiento por medio de
la combinación de la medida de fase de la portadora. Los métodos de combinación son altamente
conocidos, así como los procedimientos que permiten la resolución de las ambigüedades, por lo
que se recomienda al lector consultar, entre otros, [5]-[10] para mayores detalles.
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F. Cálculo de líneas base o vectores
Este apartado se desarrollará partiendo de la relación nal de las dobles diferencias, debido
a que se cancela el parámetro del estado del reloj del satélite y receptor. De esta manera, para
dos puntos A y B observando dos satélites j y k toma la forma que se presenta en el conjunto de
ecuaciones de (13) [7],[8].
(13)
Si se multiplica la ecuación anterior por λ, el primer término de la derecha representa las
pseudodistancias medidas desde los dos satélites a los dos puntos y cada una de estas tres ecuaciones
debe ser linealizada. El resultado de este proceso se presenta en la ecuación (14), donde los subíndices
cero se reeren a la aplicación de la serie de Taylor la cual requiere de valores aproximados de las
incógnitas [8].
(14)
Sustituyendo la ecuación (14) en la ecuación (13) se tendrá ahora la ecuación de observación
linealizada. El lector deberá notar que, por simplicidad en la notación, se han sustituido los cocientes
de diferencias de coordenadas en X, Y, Z de los satélites j y k y las coordenadas aproximadas del
receptor en los puntos A y B entre su correspondiente pseudodistancia por los términos a, tal como
se muestra en la ecuación (15) [8].
(15)
En la ecuación anterior, el término que está a la izquierda del signo igual quedará expresado
según la ecuación (16) [8].
(16)
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Si se considera ahora, por ejemplo, que el punto A es jo, es decir, se conocen sus coordenadas,
se reduce el número de incógnitas en tres porque ΔXA = ΔYA = ΔZA = 0 implicando que la ecuación
(16) tomará la forma de la ecuación (17) donde desaparece el cero en las pseudodistancias al punto
A [8].
(17)
Si se toman ahora, por ejemplo, cuatro satélites j, k, l, m en dos instantes de tiempo t1 y t2,
se tiene en el conjunto de ecuaciones (18), la forma del vector de observaciones L, del vector de
incógnitas x y de la matriz de conguración A [8].
(18)
G. Posicionamiento relativo
De acuerdo con la teoría del ajuste por mínimos cuadrados aplicada a las componentes de una
línea base entre los puntos i y j, estas se pueden considerar como observaciones. La forma linealizada
de esta relación se puede ver en la ecuación (19) [9], [10].
(19)
Sin embargo, para tener consistencia con la formulación del procedimiento, se deben incluir
los residuos a las observaciones, tal como se muestra explícitamente en la ecuación (20) en cada
una de las componentes del vector.
(20)
El modelo funcional linealizado del ajuste v = Ax – l se presenta ahora en la ecuación (21).
(21)
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La adecuación de los tamaños de las matrices y vectores se hará dependiendo de la cantidad
de puntos y líneas base que se consideren entre ellos, respetando la regla de r – 1, con r igual a la
cantidad de receptores midiendo de forma simultánea.
3. METODOLOGÍA
A. Fuentes de datos
Para la realización de este estudio, se usó un total de tres fuentes de datos. La primera corresponde
a los archivos de observación de las ocho estaciones que sustentan actualmente el marco geodésico
nacional CR-SIRGAS [1], administradas por el IGNCR. Los archivos de observación de dichas
estaciones se pueden descargar de manera gratuita en el enlace: https://gnss.rnp.go.cr/SBC.
La segunda fuente la conforma un grupo de archivos de datos pertenecientes a un conjunto de
estaciones GNSS de operación continua, ubicado principalmente en el sector occidental de Costa
Rica y son parte de un proyecto de investigación desarrollado por UNAVCO en colaboración con
el Observatorio Vulcanológico y Sismológico de Costa Rica (OVSICORI) [11]. Los archivos de
observación de esta fuente se descargan gratuitamente en: https://data.unavco.org/archive/gnss/
rinex/. Finalmente, la tercera fuente de datos consultada fue el conjunto de archivos de observación
solicitado directamente vía correo electrónico al OVSICORI. En el CUADRO I, se presentan las
coordenadas geodésicas aproximadas de las treinta y dos estaciones usadas, la fuente de datos
consultada y el tipo de punto. En este estudio, las ocho estaciones de CR-SIRGAS se consideraron
jas y las veinticuatro estaciones restantes se tomaron como nuevas.
B. Establecimiento de las épocas de observación y referencia
Se denió como época de observación ti el martes 13 de julio de 2021 correspondiente con
el día del año DOY = 194, semana 2166 y día de la semana 2, época 2021,53. Sin embargo, para
la estación EART, no se contó con el archivo respectivo por lo que se usó el DOY = 200, que
corresponde con lunes 19 de julio de 2021, semana 2167, día de la semana 1, época 2021,55.
Además, se consideraron las épocas t0 = 2019,24 y tk = 2014,59, correspondientes a las dos versiones
ociales de CR-SIRGAS [1].
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CUADRO I
Coordenadas aproximadas y clasicación puntos de la red de estaciones GNSS de operación
continua con base en la fuente de los datos y el tipo. En la columna “Fuente” la O, la U y la I se
reeren a OVSICORI, a UNAVCO y a IGNCR, respectivamente; y las letras F y N de la columna
“Tipo” se reeren a las categorías jo y nuevo
Estación Latitud
Norte [°]
Longitud
Oeste [°]
Altura
[m] Fuente Tipo Estación Latitud
Norte [°]
Longitud
Oeste [°]
Altura
[m] Fuente Tipo
BATA 10,097 83,376 33,84 O N LEPA 9,945 85,031 20,94 U N
BIJA 9,749 84,576 555,62 U N LIBE 10,631 85,438 163,83 I F
CABA 10,237 85,343 26,93 U N LIMN 9,993 83,026 25,04 I F
CCOL 8,407 82,973 83,27 O N LMNL 10,267 85,053 102,93 U N
CDME 9,553 83,763 3483,40 O N NEIL 8,644 82,944 66,52 I F
CDTO 8,573 82,872 100,04 O N NYCO 10,144 85,455 155,56 I F
CIQE 10,323 84,431 680,65 I F PNE2 10,195 85,828 19,66 U N
CNKC 9,592 82,978 105,85 O N PUJE 10,113 85,272 29,16 U N
COVE 10,719 84,401 99,02 O N PUMO 10,064 84,966 17,95 U N
CTCR 8,890 82,764 1490,68 O N PUNT 9,980 84,832 23,66 I F
EART 10,212 83,594 45,37 O N RIDC 9,920 84,049 1212,16 I F
EPZA 10,140 85,568 668,61 U N RIFO 10,317 83,922 116,17 O N
HUA2 10,017 85,351 594,24 U N SAGE 9,373 83,704 723,17 I F
IND1 9,864 85,502 75,25 U N SAJU 10,067 85,710 73,78 U N
IRZU 9,966 83,897 2964,91 O N SRBA 9,232 83,360 940,01 O N
LAFE 9,807 84,960 65,29 U N VRAI 9,924 83,190 438,34 U N
La distribución espacial de los puntos se presenta en la Fig. 1, donde las estaciones jas
CR-SIRGAS se identican con un triángulo de color rojo, y las estaciones nuevas con círculos de
color verde y amarillo, dependiendo de la fuente de datos.
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Fig. 1. Ubicación geográca de las ocho estaciones CR-SIRGAS y de las veinticuatro estaciones nuevas.
Mapa compilado con Generic Mapping Tools (GMT) versión 6.0.0 [12] y datos del modelo Shuttle Radar
Topography Mission (SRTM) [13].
C. Determinación de las líneas base
La red de puntos seleccionados para este estudio está conformada por un total de veinticuatro
puntos nuevos que permiten calcular un total de veintitrés líneas base o vectores independientes.
Sin embargo, se implementó una metodología que tomó los archivos de cada una de las estaciones
de manera independiente como si se tratara de mediciones aisladas en un día particular, asumiendo
que dicha medición se realiza para el establecimiento de un punto con enlace al marco de referencia
CR-SIRGAS. Al respecto, se establecieron los siguientes criterios para el cálculo de las coordenadas
de los puntos nuevos:
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1) Cada punto fue procesado de manera individual con un archivo de 24 h de observación y
sin formar ninguna gura con los restantes puntos nuevos;
2)
cada punto debería ser intersecado por un máximo de cuatro estaciones de referencia
CR-SIRGAS, teniendo, para cada proceso de ajuste, un total de doce observaciones;
3)
La elección de las estaciones de vínculo se basó en el criterio de proximidad al punto
nuevo, es decir, aunque, en principio, cada punto nuevo puede formar vector con las ocho
estaciones de referencia, solamente se escogieron las cuatro más cercanas.
En la Fig. 2, se presenta, de manera esquemática, el criterio de selección usado en la escogencia
de las estaciones de vínculo para cada uno de los puntos nuevos. Los triángulos de color rojo
representan estaciones GNSS de operación continua (estaciones jas CR-SIRGAS) y los círculos
representan las estaciones nuevas. La codicación de las líneas contempló vectores de tamaño
“corto” en color negro, los vectores de longitud “media” en color azul y los vectores de longitud
“larga” en color verde. Las comillas en los adjetivos anteriores se colocaron solamente para clasicar
distancias en esas tres categorías y solo con ese efecto ya que el término corto, medio y larga puede
tener diferentes connotaciones. Por ejemplo, el punto PN1 se enlazó a las estaciones conocidas EB6,
EB2, EB5 y EB4 en donde se aprecian dos vectores de longitud media y dos de longitud larga. En
el caso del punto PN2, se enlazó a las estaciones EB2, EB3, EB1 y EB5 que tiene tres vectores de
longitud media y uno de longitud corta. Finalmente, en el caso de PN3, se vinculó a las estaciones
EB7, EB3, EB2 y EB8 en las que hay dos vectores cortos y dos vectores de longitud larga.
Fig. 2. Representación de la selección de estaciones jas representadas por triángulos de acuerdo con el
criterio de proximidad a la estación nueva representada un círculo. Los colores de los vectores están dis-
puestos de acuerdo con su longitud. Fuente: elaboración propia
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El procesamiento de las líneas base se realizó con el software comercial Trimble Bussines
Center (TBC) versión 5.2 con licencia de la Escuela de Topografía, Catastro y Geodesia (ETCG)
de la Universidad Nacional (UNA). Por un lado, en la parte superior de la Fig. 3, se representa el
vínculo entre la estación ja y la estación nueva con los cuadros de color azul; en la parte inferior a
la izquierda se muestra el porcentaje de ocasiones en las que la estación ja fue considerada por cada
punto nuevo. Por otro lado, a la derecha de la gura, se tiene el porcentaje respecto a la totalidad de
las líneas base usadas. En total, se procesaron noventa y seis vectores contemplando, para las ocho
estaciones CR-SIRGAS, los archivos de coordenadas semanales nales SIRGAS disponibles en:
https://www.sirgas.org/en/weekly-solutions/, así como archivos de órbitas nales del International
GNSS Service (IGS), los cuales se pueden descargar en: https://igs.org/products-access/.
Fig. 3. En la parte superior los cuadros azules representan los puntos extremos de cada una de las líneas base
y, en la parte inferior se presentan, por medio de barras horizontales el porcentaje de estaciones CR-SIR-
GAS usadas respecto a los puntos nuevos y a la totalidad de las observaciones. Fuente: elaboración propia
Con el n de dar una idea del valor de la magnitud de las componentes elipsoídicas de cada uno
de los vectores, en la Fig. 4, se presenta una matriz que reúne la clasicación por magnitud de cada
uno de los tres tipos de componente del vector (α, s y Δh). La codicación de colores se tiene en la
parte de la derecha en la cual cada una de las magnitudes debe leerse considerando los intervalos
en los que se encuentra la observación. En el caso de los azimuts α, se establecieron cuatro rangos:
valores menores o iguales a 90º en color rojo, valores entre 90º y 180º en color amarillo, valores
entre 180º y 270º en color verde y valores mayores a 270º y menores que 360º en color azul. En lo
que respecta a las distancias s y a las diferencias de altura Δh, el color azul representa magnitudes
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62
mayores a los 125 km y 2000 m, respectivamente. En el caso de las diferencias de altura, se tomó
el valor absoluto de la observación para facilitar la interpretación.
Fig. 4. Matriz de clasicación de la magnitud de cada una de las tres componentes elipsoídicas de las
líneas base calculadas. El valor se ha codicado por medio de colores según la escala respectiva. Fuente:
elaboración propia
D. Ajuste de las redes
Una vez calculados los vectores entre cada una de las estaciones de amarre y el punto nuevo se
realizaron veinticuatro procesos de ajuste con un total de cuatro vectores por punto, que generaron
un total de n = 12 observaciones para resolver u = 7 incógnitas, las tres coordenadas geocéntricas
de la estación nueva, más cuatro parámetros de transformación determinados entre la red original
y la solución [14]. De esta manera, cada uno de los ajustes se logró con un total de f = 5 grados de
libertad y pruebas estadísticas al 95 % de probabilidad [14]. Las variantes aplicadas en bloque de
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ajustes contemplaron, fundamentalmente, los diferentes conjuntos de coordenadas para las estaciones
de amarre, es decir, las diferentes épocas consideradas. Las variantes que se implementaron fueron
las siguientes:
1)
Ajuste en la época de observación t
i
= 2021,53. Este primer bloque de ajustes para los veinticuatro
puntos nuevos contempló como coordenadas de amarre los valores de las soluciones semanales
nales de SIRGAS para la semana 2166. Las coordenadas ajustadas de los puntos nuevos, por
lo tanto, son válidas a esta época de observación. Los resultados de las coordenadas ajustadas
se presentan en el Anexo 1. En este documento, los resultados de los ajustes se denominaron
2021,53;
2)
ajuste en la época de referencia de CR-SIRGAS t
0
= 2019,24. Los resultados de las líneas
base determinadas en el paso anterior fueron usados como observaciones para determinar las
coordenadas ajustadas de los puntos de la red en esta época de referencia. Se usaron como
coordenadas de amarre de las estaciones CR-SIRGAS para la semana 2046. Dentro de este
documento los resultados de este ajuste se denominaron 2019,24;
3) ajuste en la época de referencia de CR-SIRGAS t0 = 2019,24. A diferencia del paso anterior se
tomaron en estos procesos las observaciones correspondientes con esta época, especícamente
el día 86 del año 2019 además de los archivos de órbitas nales del IGS y las coordenadas
semanales nales para la semana 2046. Es decir, resultados en CR-SIRGAS versión 2. Las
coordenadas ajustadas se presentan en el Anexo 2. En este documento los resultados de estos
ajustes se denominaron CR-SIRGAS;
4) de conformidad con [1], se aplicaron los parámetros ociales de transformación entre la época
t0 = 2019,24 y tk = 2014,59. Los resultados se pueden consultar en el Anexo 3. Este cálculo
no responde a un proceso de ajuste. En este documento, los resultados de la transformación
se denominaron 2014,59T y no requieren mayor detalle, debido a que son el resultado de
aplicación de un proceso conocido.
4. RESULTADOS
El modelo matemático del ajuste por mínimos cuadrados contempla dos partes denominadas
modelo funcional y modelo estocástico. El primero establece las relaciones funcionales entre las
observaciones y las incógnitas, el segundo, considera la matriz P de pesos de las observaciones
que es la inversa de la matriz de factores y cofactores de las observaciones originales denominada
QLL y esta depende del inverso de un factor denominado varianza de referencia teórica σ2
0 , el cual
consiste en un valor adimensionado de referencia establecido inicialmente y que se aplica como
un escalar a la matriz de varianza-covarianza ΣLL [6],[8]. La situación descrita se presenta en el
conjunto de ecuaciones (22).
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
64
(22)
Luego, a partir de los residuos vi de las observaciones, la cantidad de observaciones n y el
número de incógnitas o parámetros u, se hace una estimación de la varianza de referencia por medio
de la varianza empírica s2
0, como se presenta en la ecuación (23).
(23)
Es común que el valor teórico de la varianza de referencia se asuma unitario y, por lo tanto,
el valor a posteriori o empírico brindará información sobre dicha estimación inicial, permitiendo,
adicionalmente, una cuanticación e interpretación rápida sobre el proceso de cálculo en general.
En la Fig. 5 se presentan los resultados de las desviaciones estándar empíricas de la unidad de peso
para los tres conjuntos de ajustes realizados.
Fig. 5. Comportamiento del valor de desviación estándar empírica s0 obtenidos en los procesos de ajuste
en una de las tres épocas consideradas. Fuente: elaboración propia
Se aprecia cómo los resultados de este parámetro estadístico para el caso del ajuste en la época
2019,24 con observaciones realizadas en 2021,53 (círculo de color rojo) son mayores que los
logrados en los dos procesos en los que se usó correspondencia de observaciones y coordenadas.
Estos valores estuvieron comprendidos en un rango entre 1,5 y 9,5 explicando que a los ajustes
realizados en esta época se les aplicó un equilibrio de varianzas. Es decir, este factor aumentó la
varianza de referencia inicial para lograr la aceptación del modelo matemático, lo que implicó una
reducción en la calidad de los resultados, como se verá en los siguientes apartados.
A. Cinemática de las estaciones CR-SIRGAS
CR-SIRGAS es un marco geodésico que puede ser catalogado como semicinemático y los
cambios en las coordenadas de sus estaciones pueden usarse para calcular coordenadas en diferentes
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instantes [15], [16]. De esta manera, las variaciones semanales en las coordenadas de vínculo como
respuesta a la cinemática del país, es un aspecto que indudablemente inuirá en los resultados de
observaciones tomadas en diferentes épocas de observación ti [4]. Las variaciones en las coordenadas
de las estaciones del marco nacional CR-SIRGAS se obtienen a partir de los archivos de coordenadas
semanales nales de SIRGAS. A partir de estas, se presentan, en la Fig. 6, sus series temporales
entre la época 2019,25 y la 2021,53. Concomitantemente, el CUADRO II muestra el rango de
variación por coordenadas para cada una de esas estaciones en el intervalo de tiempo considerado.
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Fig. 6. Series temporales en coordenadas cartesianas geocéntricas para las ocho estaciones CR-SIRGAS
desde la época 2019,24 hasta la época 2021,53. Fuente: elaboración propia a partir de las soluciones
semanales SIRGAS
CUADRO II
Cuanticación del rango de variación en coordenadas geocéntricas cartesianas para cada una de las
ocho estaciones CR-SIRGAS para el intervalo de estudio
Rango CIQE LIBE LIMN NEIL NYCO PUNT RIDC SAGE
X [mm] 34,5 25,2 49,7 48,6 28,8 33,8 26,9 48,7
Y [mm] 33,8 31,3 47,8 28,7 37,3 33,7 32,5 33,0
Z [mm] 28,9 43,6 29,6 56,7 53,1 38,4 39,6 52,8
Los resultados anteriores conrman y cuantican los cambios en las coordenadas de las ocho
estaciones CR-SIRGAS, lo cual repercute directamente en la época de observación. Por ejemplo,
viendo la Fig. 6, si se realizaran mediciones en una época tm = 2020,30 y se tomara como referencia
la estación SAGE, pero considerando sus coordenadas en la época de referencia t
0
= 2019,24, habría
discrepancias entre los +15 mm y +30 mm en las coordenadas X y Z, mientras que, en la coordenada
Y, se tendría una variación aproximada de -10 mm solo por el dinamismo del propio marco. Estos
cambios producirían efectos en los resultados de los ajustes en la época de observación.
B. Coordenadas ajustadas de los puntos nuevos
La salida del programa de procesamiento brinda tres tipos de coordenadas ajustadas para los
puntos nuevos: coordenadas cartesianas geocéntricas (X, Y, Z), coordenadas geodésicas elipsoídicas
(φ, λ, h) y coordenadas cartográcas planas (N, E), en este caso, en la proyección nacional Costa
Rica Transversa Mercator (CRTM05), acompañada de una estimación de la altura nivelada (H) del
punto obtenida por medio de la diferencia entre la altura geodésica h y el valor de la ondulación
del geoide N para el punto según el modelo EGM2008 [17]. En el CUADRO III, se presentan
los resultados de las diferencias en coordenadas cartesianas geocéntricas entre las tres épocas
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consideradas. Se nota, en la comparación CR-SIRGAS y 2019,24, que los valores de las diferencias
son menores respecto a las otras dos comparaciones. Esto se debe a que se usó la misma época y
a que las coordenadas obtenidas en 2019,24 están ajustadas, es decir, el algoritmo de ajuste por
mínimos cuadrados genera una solución de coordenadas sacricando, en este caso particular, la
geometría de la red y la exactitud de las coordenadas. Esta situación debe complementarse con el
análisis de los residuos y las exactitudes de las observaciones ajustadas.
CUADRO III
Cuanticación de las diferencias en coordenadas cartesianas geocéntricas obtenidas para cada una
de las épocas consideradas y sus los valores mínimo, máximo y rango
Estación
(2021,53 – CR-SIRGAS) (2021,53 – 2019,24) (CR-SIRGAS – 2019,24)
X [cm] Y [cm] Z [cm] X [cm] Y [cm] Z [cm] X [cm] Y [cm] Z [cm]
BATA 3,2 1,7 2,0 3,8 2,5 3,4 0,6 0,8 1,4
BIJA 3,7 -0,1 1,7 2,8 2,1 3,7 -1,0 2,2 2,1
CABA 3,1 1,4 5,3 2,6 1,9 4,1 -0,5 0,5 -1,3
CCOL 6,3 2,5 5,6 5,6 1,6 5,7 -0,7 -1,0 0,1
CDME 4,0 2,6 4,7 4,0 2,0 3,7 0,0 -0,6 -1,0
CDTO 4,5 3,1 4,6 5,1 1,9 5,7 0,6 -1,2 1,2
CNKC 2,4 4,4 1,9 4,1 2,1 4,4 1,7 -2,3 2,5
COVE 3,7 0,9 2,2 3,4 0,1 3,6 -0,2 -0,8 1,5
CTCR 5,0 0,4 3,7 4,6 1,3 5,4 -0,4 0,9 1,7
EART 3,7 5,0 2,0 3,5 2,1 3,6 -0,2 -3,0 1,6
EPZA 2,5 4,2 3,9 2,4 2,5 4,7 0,0 -1,8 0,8
HUA2 3,0 4,9 4,5 2,2 2,5 4,0 -0,8 -2,3 -0,5
IND1 4,7 4,1 6,1 1,5 2,8 4,5 -3,2 -1,3 -1,6
IRZU 3,9 3,6 3,0 3,7 2,1 3,2 -0,2 -1,5 0,2
LAFE 3,3 2,4 3,9 2,7 2,4 3,6 -0,6 0,0 -0,3
LEPA 3,8 1,2 4,5 2,5 2,4 3,2 -1,2 1,2 -1,2
LMNL 3,3 0,3 4,4 2,8 1,5 3,7 -0,5 1,2 -0,7
PNE2 1,8 2,5 4,7 2,3 3,0 4,9 0,5 0,5 0,3
PUJE 3,6 0,7 3,7 2,3 2,1 3,9 -1,3 1,5 0,2
PUMO 3,3 0,3 4,6 2,7 2,1 3,4 -0,6 1,8 -1,3
RIFO 3,6 -0,9 2,5 3,3 1,8 3,3 0,4 0,4 0,5
SAJU 3,2 1,7 4,5 2,0 2,8 4,6 -1,3 1,1 0,2
SRBA 4,8 2,2 5,6 4,5 2,6 4,8 -0,2 0,4 -0,8
VRAI 3,6 2,2 2,9 4,0 2,5 3,3 0,4 0,4 0,5
Mínimo 1,8 -0,9 1,7 1,5 0,1 3,2 -3,2 -3,0 -1,6
Máximo 6,3 5,0 6,1 5,6 3,0 5,7 1,7 2,2 2,5
Rango 4,5 5,9 4,5 4,1 2,9 2,5 4,9 5,2 4,1
Fuente: elaboración propia
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68
Con el objetivo de visualizar principalmente la magnitud y la dirección, debido a la diferencia
de coordenadas entre CR-SIRGAS y 2021,53, en la Fig. 7, se presenta los vectores desplazamientos
calculados con base en coordenadas cartográcas.
Fig. 7. Vectores de desplazamiento determinados con base en coordenadas cartográcas entre la época
2021,53 y 2019,24. Mapa compilado con Generic Mapping Tools (GMT) versión 6.0.0 [12]. Fuente:
elaboración propia
Se nota cómo la dirección y magnitud de los vectores responde efectivamente con el movimiento
esperado que sigue el país al estar ubicado sobre la Placa Caribe e inuenciado por la Placa Cocos
[18]. En este proyecto particular, se tuvo un desplazamiento promedio 4,82 cm que representan unos
2,1 cm por año en un azimut promedio de 55° para los puntos nuevos, mientras que las estaciones
CR-SIRGAS tuvieron una magnitud de 5,75 cm es decir unos 2,5 cm por año en un azimut promedio
de 42° [4] y [18].
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C. Exactitud en las coordenadas ajustadas
Uno de los parámetros más importantes, y que generalmente la mayoría de los usuarios revisa
inmediatamente luego del proceso de ajuste, es la exactitud de las coordenadas ajustadas de los
puntos nuevos. Estos resultados se obtuvieron congurando las pruebas estadísticas del programa de
procesamiento para trabajar con un 95 % de probabilidad. Los resultados mínimo, máximo y promedio
de las exactitudes para cada una de las tres variantes de ajuste se presentan en el CUADRO IV.
CUADRO IV
Valores mínimo, máximo y promedio de las exactitudes obtenidas en cada una de las tres épocas
consideradas
Época 2021,53 CR-SIRGAS 2019,24
Exactitud sX
[mm]
sY
[mm]
sZ
[mm]
sX
[mm]
sY
[mm]
sZ
[mm]
sX
[mm]
sY
[mm]
sZ
[mm]
Mínimo 1,3 6,1 1,6 2,1 9,7 2,2 8,3 40,9 10,7
Máximo 9,2 49,8 11,2 10,9 84,3 18,1 23,3 135,7 29,4
Promedio 3,0 16,7 3,8 5,8 31,1 6,8 14,5 81,0 18,9
Fuente: elaboración propia
En el conjunto de grácos de la Fig. 8, se presentan por medio barras verticales, la exactitud
en las coordenadas geocéntricas para cada uno de los veinticuatro puntos nuevos. Se aprecia que
en el caso de las coordenadas X y Z, para los resultados de 2021,53, los valores son menores a
± 5 mm. En el caso de la coordenada Y, como es de esperar, se tienen valores menores a los ±
25 mm, excepto en los puntos EART, IND1 y RIFO. En los resultados del ajuste CR-SIRGAS,
el comportamiento general de la exactitud en las coordenadas X y Z se mantiene en ± 10 mm,
exceptuando el punto COVE, mientras que en la coordenada Y los valores están por debajo de los
± 50 mm, con excepción en los puntos COVE e IND1. En el caso de los resultados en 2019,24, las
barras de color rojo presentan valores elevados (ver CUADRO IV) respecto a los casos 2021,53 y
CR-SIRGAS, llegando a ± 25 mm para CCOL en X, más de ± 125 mm en IND1 para la coordenada
Y, y casi ± 30 mm en Z para la misma estación IND1.
El efecto de las discrepancias entre las exactitudes de las coordenadas ajustadas obtenidas de
los resultados de los procesamientos de CR-SIRGAS y 2019,24 respecto a 2021,53, se cuanticó
utilizando un factor de reducción f
r
, el cual tendrá valores menores, iguales o mayores que la unidad
representando incremento, igual o pérdida de exactitud respectivamente. Estos valores se presentan
en la Fig. 9 donde se hizo una codicación de colores para facilitar la identicación del fr y en la
cual, adicionalmente, se calculó el promedio de este factor. Se nota en el bloque de la izquierda que
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
70
el promedio del fr se encuentra entre 0,6 y 4,2, mientras que en el bloque de la derecha el promedio
aumenta a un rango entre 1,8 y 15,3. En esta gura, se evidencia también un elemento sistemático
en cada una de las comparaciones por cada una de las coordenadas. el cual puede ser atribuido
precisamente a que el marco CR-SIRGAS es cinemático y, por lo tanto, las coordenadas de sus
estaciones presentaron variaciones constantes de este estudio.
Fig. 8. Comparación de la exactitud en cada una de las tres coordenadas cartesianas geocéntricas para
todos los puntos nuevos. Fuente: elaboración propia
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Fig. 9. Valores del factor de reducción determinado con base en los resultados de la exactitud en las coor-
denadas cartesianas geocéntricas. Fuente: elaboración propia
D. Elipses absolutas de conanza
El programa de cálculo TBC también ofrece, dentro de sus salidas, los tres parámetros de las
elipses absolutas de conanza: semieje mayor a, semieje menor b y azimut θ del semieje mayor.
Estas regiones de conanza, al depender de los coecientes de la matriz de factores y cofactores de
las incógnitas y de la cantidad de grados de libertad del ajuste, estarán relacionadas precisamente
con los resultados de la exactitud y, considerando la conguración geométrica, brindan información
sobre la calidad de los puntos.
En los apartados anteriores, se ha expuesto que la exactitud de las coordenadas ajustadas de
los puntos nuevos en el ajuste 2019,24 baja considerablemente respecto a dos resultados. En las
tres determinaciones, la excentricidad promedio de las elipses fue 0,588, sin embargo, el aumento
en los ejes para las elipses en el ajuste 2019,24 estuvo entre 1,5 y 15. La representación de estas
regiones de conanza se presenta en la Fig. 10, donde a la derecha se presentan en conjunto las
elipses obtenidas de los ajustes 2021,53 y CR-SIRGAS dibujadas aumentadas en un factor 250, y,
a la derecha, se agregan, en color rojo, las elipses del ajuste 2019,24 y se mantuvo la escala para
destacar las diferencias. El azimut del semieje mayor prácticamente se mantuvo invariable en los
tres casos.
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72
Fig. 10. A la derecha comparación de las elipses absolutas de conanza, épocas 2021,53 y CR-SIRGAS
(color negro y azul respectivamente), a la derecha se agregan las correspondientes elipses de la época
2019,24 (color rojo). Mapa compilado con Generic Mapping Tools (GMT) versión 6.0.0 [12]. Fuente:
elaboración propia
E. Observaciones ajustadas
Las observaciones ajustadas son el resultado de la suma de las observaciones originales y los
respectivos residuales siguiendo el principio de mínimos cuadrados. El programa de procesamiento
brinda, como parte de las salidas, las componentes elipsoídicas de cada uno de los vectores calculados,
así como su residual y error. Una primera forma para analizar el comportamiento de las observaciones
ajustadas y sus exactitudes se presenta en esta Fig. 11, donde se muestra la matriz de correlación
respectiva determinada para cada una de las tres épocas de referencia.
En la misma Fig. 11, se puede observar, por un lado, que las componentes ajustadas de cada
uno de los vectores en las tres épocas son prácticamente independientes con un coeciente de
correlación promedio de -0,02, sin embargo, las componentes de distancia y diferencia de altura
entre las distintas épocas están totalmente correlacionadas, así como la componente de azimut
solamente entre las épocas 2021,53 y 2019,24. Por otro lado, se observa que las exactitudes en las
componentes de distancia y diferencia de altura están altamente correlacionadas en las tres épocas,
llegando a un valor promedio de +0,82. Se ve, además, que las exactitudes en la componente
angular están medianamente relacionadas con las respectivas exactitudes en distancia y diferencia
de altura solamente en la época 2021,53. Este comportamiento no se repite para CR-SIRGAS ni
2019,24. Luego, las correlaciones entre los grupos de datos tienen diferentes valores, destacándose
la relación inversa entre las distancia s y la exactitud azimutal sa con un promedio de correlación
de -0,65 en todas las épocas.
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Fig. 11. Matriz de correlación para los conjuntos de observaciones ajustadas obtenidas en cada una de las
tres épocas consideradas. Fuente: elaboración propia
Los residuales son las correcciones que proporciona el algoritmo de ajuste a las observaciones
originales. En el conjunto de grácos de la Fig. 12, se presenta su distribución por época de ajuste
y su tipo de magnitud. Superpuesta, se graca la curva de la función de densidad en color negro.
En las las de arriba hacia abajo, se muestran los resultados generados por los ajustes relativos
a 2021,53, CR-SIRGAS y 2019,24 y, en las columnas de izquierda a derecha, se presentan las
componentes elipsoídicas de azimut, distancia y diferencia de altura, respectivamente. En los
grácos de la gura, se observa, evidentemente, que los residuos son aleatorios y que se distribuyen
de una manera prácticamente normal. Además, se nota que, en el caso del ajuste CR-SIRGAS, las
tres componentes tienen una dispersión menor, aproximadamente la mitad al compararla con el
ajuste 2021,53. Sin embargo la dispersión de los residuales en el ajuste 2019,24 es mucho mayor
en todas las componentes, lo cual implica que se tuvieron valores individuales que se alejan del
valor central. Debe también indicarse que, en todos los setenta y dos procesos de ajuste realizados,
no hubo evidencia estadística de observaciones groseras.
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Fig. 12. Distribución de los residuos para cada una de las componentes geodésicas de las líneas base
ajustadas. Fuente: elaboración propia
La exactitud de las observaciones ajustadas no siempre es considerada importante por los
usuarios, sin embargo, ofrece valiosa información cuando se analizan los resultados de un proceso
de ajuste. En observaciones GNSS, una primera evaluación se da, por ejemplo, al usar la exactitud
nominal de los receptores en las componentes horizontal y vertical y en los respectivos modos estático
y cinemático. Ahora bien, probablemente esta estimación inicial teórica de los errores sea aplicada
solamente para contar con información general que permita a los usuarios conocer la incertidumbre
en la longitud de las potenciales líneas base a medir y en muy pocos casos se le prestará atención
a la componente vertical y la estimación en la parte angular será prácticamente nula.
En el conjunto de grácos de la Fig. 13 se presentan las exactitudes obtenidas de los procesos
de ajuste respecto a las tres épocas analizadas. En el eje vertical, se tiene la magnitud de la exactitud
y, en el eje horizontal, los valores de cada una de las líneas base ordenadas de manera ascendente.
El objetivo es mostrar el comportamiento de la exactitud en función de su componente respectiva.
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Fig. 13. Comparación de las exactitudes en observaciones ajustadas ordenadas ascendentemente de acuerdo
con las magnitudes geodésicas de las líneas base ajustadas. Fuente: elaboración propia
De forma complementaria a la información presentada anteriormente, en el conjunto de grácos
de la Fig. 14 se presenta, en el eje vertical, la exactitud de las observaciones ajustadas separadas
en sus compontes de azimut, distancia y diferencia de altura y en el eje horizontal, la cantidad
de observaciones de cada componente separadas en rangos de veinte observaciones. Los puntos
en cada uno de los segmentos representan los valores de exactitud ordenados ascendentemente e
identicados por colores azul, naranja, gris y amarillo, de acuerdo con el rango de la observación
para la época 2021,53. Adicionalmente, el conjunto de puntos de color rojo representa la exactitud
de las observaciones ajustadas en la época 2019,24.
La idea general de la Fig. 14 es mostrar el comportamiento de la exactitud en cada componente
independientemente del valor de la observación. Se nota que la exactitud en el ajuste 2019,24
es visiblemente más baja con respecto a los valores logrados en 2015,53 y en CR-SIRGAS.
Particularmente la componente azimutal en esta época presentó valores que superaron los ±100 mas
(10-3 segundos) de exactitud. Fue, por esta razón, que se decidió eliminar esas observaciones del
gráco con lo cual se logró que en la escala vertical se aprecien los valores del resto de observaciones.
Se recalca el hecho de que, aunque la exactitud en algunos azimuts fue superior a los ±100 mas,
estadísticamente no se catalogaron como observaciones groseras. Aun así, se notan observaciones
en el bloque de las veinte a las ochenta observaciones cuya exactitud decrece a más de ±60 mas. Se
aprecia, además, cómo las exactitudes obtenidas en 2021,53 y CR-SIRGAS prácticamente coinciden
en el bloque de las cuarenta a las noventa y seis observaciones, mientras que en los dos primeros
bloques se tiene un comportamiento aleatorio para CR-SIRGAS y 2019,24 respecto a 2021,53.
En el caso de las distancias elipsoídicas, los resultados de la exactitud tienen un comportamiento
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que se catalogó como similar en los primeros cuatro bloques y,, en el quinto bloque, 2021,53 y
CR-SIRGAS prácticamente coinciden y quedando por debajo de los ± 10 mm. En todos los bloques
de observaciones, se evidencia la disminución de la exactitud en 2019,24 con valores que alcanzan
los ± 30 mm. Las observaciones de diferencias de altura elipsoídicas se gracaron calculando el
valor absoluto de la observación para facilitar la interpretación del gráco. Se evidencia que estas
observaciones en 2021,53 se mantienen por debajo de los ± 20 mm con una alta coincidencia en el
último bloque de observaciones. Con respecto a CR-SIRGAS, la exactitud estuvo en los ± 20 mm
y los ± 60 mm. Sin embargo, la exactitud vertical de 2019,24 alcanza un rango entre los ± 60 mm
y los ± 140 mm con tres observaciones que superan los ± 180 mm.
Fig. 14. Comportamiento de la exactitud para cada una de las tres componentes geodésicas de las líneas
base independientemente del valor de su magnitud ajustada. Fuente: elaboración propia
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4. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
•
El post-procesamiento correcto de observaciones GNSS requiere contemplar, indiscutiblemente,
archivos de coordenadas nales de las estaciones que se tomarán como vínculo y de los
archivos de órbitas nales, cuando se ocupe garantizar un nivel de exactitud subcentimétrico
necesario para diferentes aplicaciones como la georreferenciación de información espacial.
Los resultados presentados en este artículo se rerieron principalmente a cuanticar la
disminución de la calidad en los resultados de ajustes GNSS por inuencia de la época de
observación y referencia.
•
El actual marco geodésico de referencia nacional, CR-SIRGAS, brinda la información
necesaria que cuantica, de manera general, los cambios físicos del país. Estos cambios
repercuten en la cinemática propia de ese marco dando como resultado, dentro del período
de este estudio (2,3 años), que los cambios en las coordenadas cartesianas geocéntricas
estuvieran entre los 25 mm y los 57 mm (ver Figura 6). En otras palabras, las coordenadas
de referencia de las estaciones CR-SIRGAS válidas en la época t0 = 2014,59 variaron
signicativamente con el tiempo en concordancia con el movimiento general del país.
• Se realizó un análisis de todos los parámetros que se ofrecen en las salidas del programa
de procesamiento TBC. En primer lugar, la varianza de referencia inicial se vio aumentada,
lo que implicó una disminución en la calidad de los restantes parámetros estadísticos (ver
Fig. 5). La clara disminución en el peso inicial de las observaciones es un aspecto que no
se había cuanticado y que evidentemente inuye de forma negativa en los resultados. La
cuanticación del equilibrio de la varianza inicial estuvo entre 1,5 y 9,5. En el caso concreto
de este estudio, se evidenció que mediciones de 24 h, tomadas en la época de observación t
i
=
2021,53, brindaron resultados con una alta exactitud cuando fueron debidamente procesados,
es decir, contemplando coordenadas de amarre y órbitas nales en la respectiva época de
observación (ver CUADRO IV). Sin embargo, este mismo conjunto de mediciones, al ser
procesado en la época de referencia t0 = 2019,24, presentó una disminución en la calidad
de los resultados de coordenadas y observaciones ajustadas (ver CUADRO IV y Fig. 10,
13 y 14).
• Se determinó la matriz de correlación de las observaciones ajustadas obtenidas para cada
una de las épocas consideradas. Esta matriz muestra que, dependiendo del tipo de magnitud
y de la época respectiva, el coeciente de correlación puede ser signicativo; además,
como parte del análisis global, se mostró el comportamiento de los residuales, su función
de distribución (ver Fig. 12) y el comportamiento de las componentes geodésicas de las
líneas base ajustadas (ver Fig. 13 y 14).
• Se lograron también cuanticar las diferencias en las coordenadas ajustadas obtenidas con
observaciones registradas en la épocas 2019,24 y 2021,53 y llevadas estas últimas a la
época 2019,24. Los resultados demostraron que la diferencia en las coordenadas cartesianas
geocéntricas ajustadas en 2019,24 está entre los 4,1 mm y 5,2 mm (CUADRO III); aunque
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
78
la diferencia es pequeña, la misma debe ser analizada en concordancia con la exactitud en
las coordenadas ajustadas, la cual disminuye presentando valores entre ± 8 mm y ± 136 mm
(CUADRO IV y Fig. 8) y con la respectiva disminución de la exactitud de las observaciones
ajustadas (ver Fig. 13 y 14).
•
Se cuanticó la afectación en la exactitud de las coordenadas cartesianas geodésicas ajustadas
(Fig. 9) por medio del denominado factor de reducción fr, que tomó valores extremos entre
2 y 15, afectando fuertemente a las estaciones CDME e IRZU y, en menor grado, a las
estaciones EART y RIFO.
•
Se presentó el comportamiento de las elipses absolutas de conanza al 95 % de probabilidad
(Fig. 10), en las que se evidenció un aumento de los semiejes en los resultados 2019,24
y, sin embargo, se mantiene una orientación azimutal prácticamente invariable en las tres
épocas. Esto es producto de la misma conguración en las redes, pero con repercusión de
la época de observación. Es decir, el aumento en el tamaño de las regiones de conanza no
se debe a la conguración de las redes, sino producto de la referencia temporal.
• El usuario deberá tener claro que el ajuste de un conjunto de observaciones GNSS estará
ligado a su época de referencia, por lo que, necesariamente, tendrá que considerar órbitas
nales y coordenadas de vínculo a la misma época. Además, se debe señalar que cuando
el traslado a una época diferente a la de observación sea posible, los resultados perderán
calidad en cuanto a su exactitud, tal como se expuso en este documento.
•
Cabe, entonces, la pregunta de si una transformación de coordenadas podría generar mejores
resultados. No necesariamente. Este proceso depende de la calidad de los puntos y de los
propios valores de los parámetros: si estos fueron locales o contemplan todo el país y,
además, de toda una serie de posibilidades. No obstante, la transformación de coordenadas
es un procedimiento tan válido como el traslado entre épocas. Queda a criterio del usuario
una u otra aplicación. Consecuentemente, es necesario advertir, además, que este estudio
trabajó con observaciones de 24 h por lo que la emulación de la metodología presentada,
considerando mediciones con tiempos menores y diferente cantidad de estaciones de vínculo,
probablemente brinden resultados de una calidad menor a la presentada en este artículo.
•
Se recomienda a los profesionales, cuyos proyectos tengan nalidades catastrales, ser
consistentes con la época de observación y los datos relativos a ella, sin dejar de lado las
tolerancias ociales para los procesos de georreferenciación. Se sabe que la actualización de
los diferentes insumos catastrales usados por las autoridades no puede darse con la misma
periodicidad con la que se obtienen las coordenadas del marco y de ahí que lo ideal sería
brindarle a la administración los mejores resultados posibles vistos como una contribución
particular al desarrollo nacional.
•
Este trabajo brinda tres anexos con los resultados de las coordenadas para las épocas 2021,53,
CR-SIRGAS y 2014,59, que se pueden usar como referencia para diferentes aplicaciones
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topográcas, catastrales y cartográcas. Obviamente, estos resultados de las coordenadas se
deben trabajar considerando adicionalmente los objetivos y nalidades especícas de cada
proyecto. Se aclara que, aunque los resultados de coordenadas ajustadas fueron obtenidos
con la mejor exactitud posible que ofrece el programa de procesamiento, estos valores, de
momento, no son ociales, ya que no cuentan el aval por parte del Instituto Geográco
Nacional de Costa Rica.
REFERENCIAS
[1] Actualizacion del Sistema Geodésico de Referencia Horizontal Ocial para Costa Rica, Decreto
Ejecutivo Nº 40962-MJP, La Gaceta Nº 66, 17 de abril de 2018.
[2] Sobre el formato y enlace al Marco Geodésico para la Georreferenciación de levantamientos con nes
catastrales, Directriz DRI-003-2021, La Gaceta Nº 132, 02 de julio de 2021.
[3] Parámetros de transformación para pasar de las épocas 2014,59 a la 2019,24 en el ITRF14 correspondiente
con CR-SIRGAS, Directriz Nº DIG-001-2020, La Gaceta Nº 223, 04 de setiembre de 2020.
[4] J. Moya Zamora, S. Bastos Gutiérrez, y A. Álvarez Calderón, “Parámetros de transformación entre
los marcos geodésicos CR05 y CR-SIRGAS contemplando diferentes soluciones ITRF”, Revista de
Ingeniería, vol. 31, no. 1, pp. 21-50, Ene. 2021, doi: 10.15517/ri.v31i1.43854.
[5] R. Langley, P. J. Teunissen y O. Montenbruck, “Introduction to GNSS”, en Springer Handbook of
Global Navigation Satellite System, P. J. G. y Montenbruck, O. (eds). New York, NY, USA: Springer
International Publishing, 2017, pp. 3-24. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42928-1.
[6] A. Leick, GPS Satellite Surveying, 4 ed. New Jersey, Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc, 2015.
[7] G. Xu y J. Xu, GPS Theory, Algorithms and Applications, 3 ed. New York: Springer Berlin Heidelberg,
2016. https://doi.org/10.1007/978-3-662-50367-6.
[8] B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger y J. Collins, GPS Theory and Practice, 5 ed. New York:
Springer Wien, 2012.
[9] X. Luo, GPS Stochastic Modelling. Berlin. Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2013.
[10] A. El-Rabbany, Introduction to GPS The Global Positionning System. Artech House, 2002.
[11] UNAVCO. “Geodetic Infrastructure in the Northern Costa Rica Subduction Zone” UNAVCO.org.
https://www.unavco.org/highlights/2020/costarica2019.html (Accesado en Feb. 14, 2022)
[12] P. Wessel, J. F. Luis, L. Uieda, R. Scharroo, F. Wobbe, W. H. F. Smith y D. Tian, “The Generic Mapping
Tools Version 6”, Geochesmtry, Geophysics and Geosystems, vol. 20, no. 11, pp 5556-5564, 2019,
https://doi.org/10.1029/2019GC008515.
[13] T. G Farr et al., “The Shuttle Radar Topography Mission”, Reviews Geophysics., vol. 45, no. 2, 2004,
doi:10.1029/2005RG000183.
[14] Department of Transportation and Main Roads. Trimble Business Center v5.40 – Processing and
Adjusting GNSS Survey Control Networks. (2021) https://www.tmr.qld.gov.au (Accesado en Feb.
14, 2022)
[15] M. Azhari et al., “Semi-kinematic geodetic reference frame base on the ITRF2014 for Malaysia”.
Journal of Geodetic Science, vol. 10, no. 1, pp. 90-190, 2020, doi:10.1515/jogs-2020-0108.
[16] H. Ronen y G. Even-Tzur “Kinematic Datum Based on the ITRF as a Precise, Accurate, and lasting
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
80
TRF for Israel”, Journal of Surveying Engineering. vol. 143, no. 4, 2017, doi: 10.1061/(ASCE)
SU.1943-5428.0000228 .
[17] N. K. Pavlis, S. A. Holmes, S. C. Kenyon, y J. K. Factor, “The development and evaluation of the
Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)”, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, vol.
117, no. B4, Abr. 2012, doi: 10.1029/2011JB008916.
[18] L. Sánchez y H. Drewes, Geodetic Monitoring of the Variable Surface Deformation in Latin America».
Springer, 2020, doi: 10.1007/1345_2020_91.
ANEXOS
ANEXO I
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
BATA
724416,660 0,002 10°05’51,8792079” 0,004 1116619,756 0,001
-6238098,094 0,011 83°22’33,7315979” 0,003 568384,850 0,002
1110899,927 0,003 33,830 m 0,010 22,472 0,011
BIJA
594201,356 0,002 9°44’59,9108062” 0,005 1078146,495 0,002
-6259021,099 0,014 84°34’36,7235795” 0,004 436710,161 0,002
1073097,909 0,003 555,625 m 0,013 544,572 0,014
CABA
509597,053 0,001 10°14’16,3432488” 0,003 1132359,194 0,001
-6256557,678 0,007 85°20’36,7218211” 0,002 352806,197 0,001
1126154,858 0,002 26,925 m 0,006 16,723 0,007
CCOL
771916,576 0,004 8°24’26,8706730” 0,006 929771,096 0,003
-6262734,775 0,017 82°58’24,3077459” 0,006 613052,991 0,003
926395,102 0,004 83,265 m 0,015 70,101 0,017
CDME
683681,068 0,001 9°33’13,4273495” 0,003 1056397,767 0,001
-6256445,627 0,006 83°45’49,2314903” 0,002 525942,525 0,001
1052183,402 0,002 3483,384 m 0,006 3466,331 0,007
CDTO
782594,193 0,002 8°34’23,6619404” 0,004 948137,682 0,002
-6258698,109 0,009 82°52’21,6039520” 0,003 624096,319 0,002
944531,405 0,002 100,040 m 0,009 86,513 0,010
COVE
768892,611 0,003 9°35’31,6117517” 0,005 1060800,658 0,002
-6242478,549 0,014 82°58’41,4694390” 0,004 612162,371 0,002
1055809,275 0,003 105,714 m 0,013 93,534 0,014
CNKC
611411,894 0,002 10°43’10,0004609” 0,008 1185342,876 0,001
-6237766,914 0,022 84°24’06,7633388” 0,004 456042,706 0,002
1178547,093 0,004 99,015 m 0,020 89,440 0,022
CTCR
793962,135 0,003 8°53’26,1577494” 0,005 983278,764 0,002
-6253279,718 0,014 82°45’50,4934309” 0,005 635942,296 0,002
979439,973 0,003 1490,690 m 0,013 1474,483 0,015
Ingeniería 32(2): 48-85, Julio-diciembre, 2022. ISSN: 2215-2652. San José, Costa Rica DOI 10.15517/ri.v32i2.50181 81
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
EART
700397,892 0,009 10°12’45,5155880” 0,020 1129289,937 0,006
-6238597,040 0,050 83°35’39,5237975” 0,015 544446,038 0,008
1123411,770 0,011 45,327 m 0,046 33,942 0,051
EPZA
485270,402 0,002 10°08’27,3783941” 0,005 1121745,762 0,002
-6261027,439 0,012 85°34’05,0317085” 0,003 328149,947 0,002
1115715,040 0,003 668,576 m 0,011 657,814 0,012
HUA2
509098,281 0,002 10°01’03,8322012” 0,004 1108009,369 0,001
-6261454,648 0,010 85°21’06,0970291” 0,003 351811,030 0,002
1102283,268 0,002 594,197 m 0,009 582,992 0,010
IND1
492838,328 0,007 9°51’52,6479972” 0,019 1091142,331 0,005
-6265175,438 0,050 85°30’07,907500” 0,011 335231,001 0,006
1085512,332 0,011 75,227 m 0,047 64,978 0,051
IRZU
668182,988 0,001 9°58’00,7018734” 0,003 1102080,995 0,001
-6249811,342 0,006 83°53’51,1625344” 0,002 511233,103 0,001
1097151,850 0,002 2964,889 m 0,006 2949,676 0,006
LAFE
552167,259 0,002 9°48’25,4239174” 0,004 1084556,457 0,001
-6261307,575 0,011 84°57’37,0172188” 0,003 394659,574 0,002
1079237,378 0,002 65,280 m 0,011 54,678 0,012
LEPA
544186,534 0,002 9°56’43,3477167” 0,005 1099878,593 0,002
-6259328,526 0,012 85°01’52,2989120” 0,003 386927,227 0,002
1094301,448 0,003 20,942 m 0,011 10,180 0,012
LMNL
541235,841 0,002 10°16’03,0299329” 0,004 1135519,092 0,001
-6253389,591 0,008 85°03’11,995365” 0,003 384614,464 0,002
1129394,013 0,002 102,941 m 0,008 92,885 0,009
PNE2
456659,989 0,002 10°11’42,5928235” 0,006 1127895,124 0,002
-6261477,048 0,015 85°49’43,3498642” 0,003 299610,312 0,002
1121504,503 0,004 19,650 m 0,014 10,760 0,015
PUJE
517555,409 0,002 10°06’50,3191127” 0,004 1118621,817 0,001
-6258335,956 0,010 85°16’20,9239237” 0,002 360538,235 0,002
1112666,800 0,002 29,162 m 0,009 18,525 0,010
PUMO
551029,341 0,002 10°03’52,1952677” 0,004 1113033,833 0,001
-6256428,904 0,009 84°58’00,1685685” 0,003 394036,961 0,002
1107276,673 0,002 17,954 m 0,008 7,434 0,009
RIFO
664425,588 0,008 10°19’02,2290029” 0,016 1140836,377 0,003
-6240526,514 0,043 83°55’21,5153892” 0,012 508472,152 0,006
1134813,755 0,009 116,192 m 0,041 104,858 0,045
SAJU
469761,338 0,003 10°04’01,6396603” 0,009 1113657,143 0,003
-6263059,443 0,023 85°42’38,0039751” 0,005 312486,692 0,003
1107572,140 0,005 73,775 m 0,022 63,896 0,023
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
82
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
SRBA
728119,419 0,002 9°13’55,7079424” 0,003 1020886,494 0,002
-6254749,771 0,008 83°21’36,1716732” 0,003 570316,786 0,002
1016664,055 0,002 939,998 m 0,008 925,258 0,008
VRAI
745039,514 0,004 9°55’29,4551432” 0,008 1097540,823 0,002
-6239418,063 0,020 83°11’26,2990286” 0,006 588752,100 0,003
1092137,131 0,005 438,329 m 0,019 426,337 0,021
• Las coordenadas cartesianas [X Y Z] ajustadas en el marco geodésico nacional CR-SIRGAS.
• Época de observación ti = 2021,53, semana 2167.
• Las coordenadas geodésicas [φ λ h] se calcularon sobre el elipsoide WGS84.
• Las coordenadas cartográcas [N E] están en la proyección ocial CRTM05.
• La altura nivelada [H] se estimó con base en la ondulación del geoide según el modelo EGM2008.
ANEXO II
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
BATA
724416,629 0,004 10°05’51,8784973” 0,008 1116619,734 0,003
-6238098,111 0,019 83°22’33,7326933” 0,006 568384,816 0,003
1110899,907 0,004 33,840 m 0,018 22,482 0,020
BIJA
594201,319 0,008 9°44’59,9103023” 0,019 1078146,479 0,004
-6259021,098 0,052 84°34’36,7247950” 0,012 436710,123 0,006
1073097,892 0,011 555,618 m 0,049 544,564 0,053
CABA
509597,022 0,004 10°14’16,3414714” 0,008 1132359,140 0,003
-6256557,692 0,021 85°20’36,7228663” 0,006 352806,165 0,004
1126154,805 0,005 26,927 m 0,019 16,724 0,021
CCOL
771916,513 0,002 8°24’26,8687831” 0,004 929771,038 0,002
-6262734,800 0,011 82°58’24,3098760” 0,004 613052,926 0,002
926395,046 0,003 83,275 m 0,010 70,110 0,011
CDME
683681,028 0,003 9°33’13,4257382” 0,005 1056397,718 0,002
-6256445,653 0,013 83°45’49,2328842” 0,004 525942,483 0,003
1052183,356 0,003 3483,397 m 0,012 3466,345 0,013
CDTO
782594,148 0,002 8°34’23,6603460” 0,004 948137,633 0,002
-6258698,140 0,011 82°52’21,6055367” 0,004 624096,270 0,002
944531,359 0,003 100,05821 m 0,010 86,531 0,011
COVE
768892,587 0,009 9°35’31,6103565” 0,015 1060800,615 0,006
-6242478,593 0,042 82°58’41,4708037” 0,014 612162,329 0,006
1055809,256 0,009 105,748 m 0,039 93,574 0,043
CNKC
611411,857 0,011 10°43’09,9997373” 0,033 1185342,854 0,007
-6237766,923 0,084 84°24’06,7645701” 0,019 456042,669 0,007
1178547,071 0,018 99,016 m 0,079 89,441 0,086
Ingeniería 32(2): 48-85, Julio-diciembre, 2022. ISSN: 2215-2652. San José, Costa Rica DOI 10.15517/ri.v32i2.50181 83
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
CTCR
793962,085 0,003 8°53’26,1565572” 0,006 983278,728 0,002
-6253279,722 0,017 82°45’50,4950610” 0,005 635942,247 0,002
979439,936 0,003 1490,682 m 0,016 1474,475 0,017
EART
700397,855 0,006 10°12’45,5146835” 0,010 1129289,909 0,004
-6238597,091 0,026 83°35’39,5251782” 0,009 544445,996 0,005
1123411,750 0,006 45,368 m 0,024 33,983 0,026
EPZA
485270,378 0,005 10°08’27,3769135” 0,011 1121745,717 0,004
-6261027,481 0,027 85°34’05,0326272” 0,007 328149,919 0,005
1115715,001 0,006 668,609 m 0,025 657,847 0,027
HUA2
509098,251 0,006 10°01’03,8305123” 0,014 1108009,318 0,005
-6261454,697 0,034 85°21’06,0981457” 0,009 351810,996 0,005
1102283,224 0,008 594,235 m 0,032 583,030 0,035
IND1
492838,281 0,009 9°51’52,6458220” 0,021 1091142,264 0,006
-6265175,480 0,058 85°30’07,9091385” 0,013 335230,951 0,007
1085512,271 0,012 75,254 m 0,055 65,004 0,059
IRZU
668182,949 0,002 9°58’00,7007314” 0,004 1102080,960 0,001
-6249811,377 0,010 83°53’51,1639426” 0,003 511233,060 0,002
1097151,820 0,002 2964,915 m 0,009 2949,702 0,010
LAFE
552167,226 0,008 9°48’25,4225519” 0,016 1084556,415 0,004
-6261307,599 0,042 84°57’37,0183569” 0,011 394659,539 0,006
1079237,339 0,009 65,294 m 0,040 54,692 0,043
LEPA
544186,496 0,010 9°56’43,3462350” 0,018 1099878,547 0,006
-6259328,539 0,047 85°01’52,3001811” 0,014 386927,188 0,009
1094301,403 0,010 20,943 m 0,044 10,181 0,048
LMNL
541235,808 0,006 10°16’03,0285288” 0,010 1135519,049 0,004
-6253389,595 0,025 85°03’11,9964481” 0,008 384614,431 0,005
1129393,969 0,006 102,934 m 0,024 92,878 0,026
PNE2
456659,971 0,007 10°11’42,5911906” 0,017 1127895,074 0,006
-6261477,073 0,044 85°49’43,3505081” 0,010 299610,292 0,006
1121504,456 0,010 19,664 m 0,042 10,775 0,045
PUJE
517555,373 0,006 10°06’50,3179034” 0,012 1118621,780 0,004
-6258335,962 0,029 85°16’20,9251267” 0,008 360538,198 0,005
1112666,763 0,007 29,159 m 0,027 18,522 0,030
PUMO
551029,308 0,008 10°03’52,1937873” 0,014 1113033,788 0,005
-6256428,907 0,036 84°58’00,1696625” 0,012 394036,927 0,007
1107276,627 0,008 17,946 m 0,034 7,426 0,037
RIFO
664425,553 0,006 10°19’02,2282940” 0,012 1140836,355 0,003
-6240526,505 0,032 83°55’21,5165242” 0,009 508472,118 0,004
1134813,731 0,006 116,174 m 0,030 104,841 0,033
MOYA : Procesamiento GNSS en el marco Geodésico CR-SIRGAS...
84
Estación X Y Z
[m]
Error
[m] φ λ h Error
[m]
N E H
[m]
Error
[m]
SAJU
469761,306 0,006 10°04’01,6381479” 0,015 1113657,097 0,005
-6263059,460 0,038 85°42’38,0050747” 0,009 312486,658 0,005
1107572,095 0,008 73,782 m 0,036 63,903 0,038
SRBA
728119,371 0,004 9°13’55,7060558” 0,006 1020886,436 0,003
-6254749,794 0,014 83°21’36,1733130” 0,005 570316,736 0,003
1016663,999 0,003 940,005 m 0,013 925,265 0,015
VRAI
745039,479 0,003 9°55’29,4541244” 0,006 1097540,792 0,002
-6239418,085 0,016 83°11’26,3002760” 0,005 588752,062 0,003
1092137,102 0,003 438,341 m 0,014 426,350 0,016
• Las coordenadas cartesianas [X Y Z] ajustadas en el marco geodésico nacional CR-SIRGAS.
• Época de observación t0 = 2019,24, semana 2046.
• Las coordenadas geodésicas [φ λ h] se calcularon sobre el elipsoide WGS84.
• Las coordenadas cartográcas [N E] están en la proyección ocial CRTM05.
• La altura nivelada [H] se estimó con base en la ondulación del geoide según el modelo EGM2008.
ANEXO III
Estación X Y Z
[m]
φ λ [º decimales]
h [m]
N E
[m] Estació X Y Z
[m]
φ λ [º decimales]
h [m]
N E
[m]
BATA
724416,576 10,0977435 1116619,68
IND1
492838,227 9,8646231 1091142,18
-6238098,100 83,3760373 568384,77 -6265175,463 85,5021975 335230,90
1110899,850 33,81 1085512,180 75,22
BIJA
594201,268 9,7499744 1078146,41
IRZU
668182,897 9,9668608 1102080,90
-6259021,082 84,5768684 436710,07 -6249811,364 83,8975460 511233,01
1073097,815 555,58 1097151,755 2964,88
CABA
509596,963 10,2378719 1132359,06
LAFE
552167,174 9,8070611 1084556,34
-6256557,678 85,3435347 352806,11 -6261307,583 84,9602833 394659,49
1126154,718 26,89 1079237,257 65,26
CCOL
771916,487 8,4074631 929770,99
LEPA
544186,442 9,9453732 1099878,47
-6262734,779 82,9734196 613052,90 -6259328,523 85,0311950 386927,14
926394,991 83,24 1094301,320 20,91
CDME
683680,983 9,5537288 1056397,66
LMNL
541235,749 10,2675072 1135518,97
-6256445,637 83,7636762 525942,44 -6253389,581 85,0533329 384614,37
1052183,291 3483,37 1129393,887 102,90
CDTO
782594,120 8,5732385 948137,58
PNE2
456659,911 10,1951634 1127894,98
-6258698,120 82,8726684 624096,24 -6261477,058 85,8287090 299610,23
944531,306 100,03 1121504,361 19,63
COVE
768892,543 9,5921137 1060800,58
PUJE
517555,315 10,1139765 1118621,70
-6242478,579 82,9781866 612162,30 -6258335,948 85,2724797 360538,14
1055809,204 105,72 1112666,677 29,12
Ingeniería 32(2): 48-85, Julio-diciembre, 2022. ISSN: 2215-2652. San José, Costa Rica DOI 10.15517/ri.v32i2.50181 85
Estación X Y Z
[m]
φ λ [º decimales]
h [m]
N E
[m] Estació X Y Z
[m]
φ λ [º decimales]
h [m]
N E
[m]
CNKC
611411,793 10,7194438 1185342,79
PUMO
551029,252 10,0644976 1113033,71
-6237766,913 84,4018796 456042,61 -6256428,893 84,9667143 394036,87
1178547,000 98,99 1107276,545 17,91
CTCR
793962,052 8,8905986 983278,68
RIFO
664425,496 10,3172851 1140836,29
-6253279,704 82,7640267 635942,22 -6240526,494 83,9226440 508472,06
979439,885 1490,65 1134813,666 116,15
EART
700397,801 10,2126425 1129289,85
SAJU
469761,248 10,0671209 1113657,01
-6238597,079 83,5943130 544445,94 -6263059,444 85,7105575 312486,60
1123411,691 45,34 1107572,002 73,75
EPZA
485270,319 10,1409373 1121745,63
SRBA
728119,332 9,2321401 1020886,38
-6261027,466 85,5680651 328149,86 -6254749,777 83,3600485 570316,70
1115714,910 668,57 1016663,940 939,97
HUA2
509098,195 10,0177299 1108009,23
VRAI
745039,429 9,9248479 1097540,74
-6261454,682 85,3516944 351810,94 -6239418,073 83,1906394 588752,01
1102283,136 594,20 1092137,048 438,31
• Las coordenadas cartesianas geocéntricas [X Y Z] se calcularon con base en los parámetros de transformación
publicados en la Directriz Nº DIG-001-2020 del 21 de agosto de 2020 del Instituto Geográco Nacional de Costa
Rica, aplicando el paso de la época 2019,24, marco ITRF2014 a la época 2014,59, marco IGb08, semana 1803.
• Las coordenadas geodésicas [φ λ h] se calcularon a partir de las coordenadas cartesianas geocéntricas.
• Las coordenadas cartográcas [N E] se calcularon considerando la proyección ocial de Costa Rica CRTM05.