ELEMENTOS DE PRE-ANÁLISIS DE DISEÑO DE REDES GEODÉSICAS PARA EL CONTROL DE OBRAS CIVILES

Juan Araque Skinner

Resumen

Este trabajo muestra las fórmulas de ajuste amarrado por mínimos cuadrados de observaciones mediatas, así como las ecuaciones estándar de acimut y distancia, para un ejemplo propuesto de pre-análisis bidimensional de un cuadrilátero medido hipotéticamente con dos receptores de los Sistemas de Navegación Global por Satélites GNSS (por sus siglas en inglés), aunque también se podría suponer para nuestros fines, haber sido medido con métodos topográficos convencionales, por ejemplo utilizando teodolito y distanciómetro, fijado a uno sólo de sus vértices, dentro de un sistema local de coordenadas planas. El caso se puede aplicar a una red de tamaño significativo, con diversos tipos de observaciones, múltiples puntos de amarre y dentro de un sistema de coordenadas en determinada proyección. Evidentemente, el objetivo de este ensayo va dirigido al topógrafo poco familiarizado con el tema, para mostrar la utilidad de esta ingeniosa herramienta de simulación, que nos ayuda a escoger entre múltiples posibilidades de medición y de economía en su realización.

Palabras clave: mínimos cuadrados, ajuste amarrado, pre-análisis bidimensional.

Abstract

Este trabajo muestra las fórmulas de ajuste amarrado por mínimos cuadrados de observaciones mediatas, así como las ecuaciones estándar de acimut y distancia, para un ejemplo propuesto de pre-análisis bidimensional de un cuadrilátero medido hipotéticamente con dos receptores de los Sistemas de Navegación Global por Satélites GNSS (por sus siglas en inglés), aunque también se podría suponer para nuestros fines, haber sido medido con métodos topográficos convencionales, por ejemplo utilizando teodolito y distanciómetro, fijado a uno sólo de sus vértices, dentro de un sistema local de coordenadas planas. El caso se puede aplicar a una red de tamaño significativo, con diversos tipos de observaciones, múltiples puntos de amarre y dentro de un sistema de coordenadas en determinada proyección. Evidentemente, el objetivo de este ensayo va dirigido al topógrafo poco familiarizado con el tema, para mostrar la utilidad de esta ingeniosa herramienta de simulación, que nos ayuda a escoger entre múltiples posibilidades de medición y de economía en su realización.

Keywords: least squares, adjustment tied, two-dimension pre-analysis.

Recibido: 21 de mayo de 2013 Aprobado: 29 de octubre de 2013

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo, mediante la utilización de fórmulas conocidas del ajuste por mínimos cuadrados de observaciones mediatas, y en el caso especial, procesando los datos de acimutes y distancias hipotéticamente obtenidos gracias al empleo de receptores de señales del Sistema de Navegación Global por Satélites, se sugiere un tipo de metodología para pronosticar, entre cuales de los diferentes casos de prediseño de redes geodésicas para el control de obras civiles, se puede con seguridad, escoger la opción de prediseño más económica, fácil de llevar a la práctica y con la cual se obtengan las exactitudes requeridas, sea para el control de la estructura de una represa, de las direcciones y las distancias principales, para replantear ejes de túneles y puentes, etc.

En esta investigación, se evaluó el comportamiento del modelo matemático de simulación del ajuste por mínimos cuadrados de un cuadrilátero donde se pretenden medir distancias y acimutes, formando una poligonal cerrada y se compararon los resultados finales (elipses de confianza al 95 % de probabilidad) con los del modelo mejorado, al cual se le agregaron las diagonales, para convertir la figura de estudio en un polígono totalmente controlado en su rigidez, conforme a la ley de propagación de errores de Gauss.

2. METODOLOGÍA: PRINCIPIO DE LA TEORÍA DE MÍNIMOS CUADRADOS

De conformidad a Hübner (1980), en la topografía y la geodesia se determinan dimensiones geométricas o físicas por observaciones. La experiencia dice que por diferentes razones (errores causados por las personas, errores instrumentales y errores por las circunstancias), cada observación se distingue de otra. Este hecho no nos sorprende, debido a los cambios continuos en el lugar donde se ejecutan las observaciones, tanto en las circunstancias como se realizan estas, como por la atención y operación del observador, etc. De ninguna manera se puede repetir completamente una situación momentánea, por lo tanto, ningún hecho coincide con otro o ninguna medición coincide con otra. Tomando esto en cuenta, se ve la razón de medir más elementos o efectuar repeticiones para poder determinar con mayor seguridad una magnitud.

Siempre y cuando se cuente con más observaciones que las necesarias para la resolución de un problema físico o geométrico, se puede aplicar el ajuste con el propósito de obtener los valores ajustados o más probables, tomando en cuenta todos los datos obtenidos.

El método para alcanzar esta meta, que se puede aplicar con otros propósitos, como por ejemplo para determinar si un trabajo es o no utilizable y que grado de confianza se le puede asignar, se llama ajuste y se basa en el principio de los mínimos cuadrados, y en su aplicación se deben rechazar todas las observaciones falsificadas por errores groseros o por errores sistemáticos, utilizándose únicamente las observaciones afectadas por errores casuales que obedecen a las leyes del azar.

A continuación, se repasa el modelo matemático que se llevará a la práctica en el ejemplo que se propone y resuelve adelante, sobre el pre-análisis bidimensional de un cuadrilátero medido hipotéticamente.

2.1. Ecuaciones originales de observación y su ajuste matricial por mínimos cuadrados

Li + Vi = aix1 + bix2 + … + uixu

Li = observación (distancia, acimut, ángulo, diferencia de elevación, etc.); Vi = residuo de la observación que hace posible la igualdad entre los dos lados de la ecuación original de observación; ai, bi,…, ui = coeficientes que multiplican a las incógnitas; x1, x2,…, xu = incógnitas de la ecuación.

i = 1,… n, n > u (n es el número de observaciones y u es el número de incógnitas).

Para que se cumpla el principio de los cuadrados mínimos, se requiere que Σ PiViVi = mínimo.

Pi = pesos asignados a las observaciones Li

Se puede escribir y desarrollar lo anterior en forma matricial de la siguiente manera:

L + V = A X; P

V = A X - L ecuaciones de observación

VT = XT AT – LT matriz anterior transpuesta

n

Σ PiViVi = VT P V

i = 1

V P VT = (XT AT – LT) P (A X - L)

(XT AT – LT) P (A X - L) = XT AT P A X - LT P A X - XT AT P L + LT P L

XT AT P A X - LT P A X - XT AT P L - LT P L = XT AT P A X - XT AT P L - XT AT P L + LT P L

XT AT P A X - XT AT P L - XT AT P L + LT P L = XT AT P A X - 2 XT AT P L + LT P L

∂(V P VT)/∂ X = 2 AT P A X - 2 AT P L

Con V P VT = mínimo; ∂ (V P VT)/∂X = 0

AT P A X = AT P L

(AT P A)-1 (AT P A) X = (AT P A)-1 AT P L

I X = (AT P A)-1 AT P L ; I = matriz identidad

X = (AT P A)-1 AT P L

 

σ02 = (V P VT)/(n-u) ; el cuadrado del error medio cuadrático de cualquier observación

Σxx = σ02 (AT P A)-1; la matriz de la varianza covarianza de las incógnitas

Para el preanálisis de diseño de redes, se usará la matriz de la varianza covarianza, tomando en consideración, que en un ajuste con observaciones reales σ02 debe llegar a ser un valor próximo a 1, para cumplir satisfactoriamente con el test estadístico de Chi-cuadrado, que indicaría en este caso que los pesos utilizados en las observaciones y el modelo del ajuste son correctos. En la simulación del ajuste de redes, como no se utilizaron observaciones, no se puede calcular el vector V.

La matriz de varianza covarianza, estará dada por Σxx = (AT P A)-1.

2.2. Ecuaciones de observación modificadas y linealizadas entre vértices i j de la red, con coordenadas ajustadas Ni; Ei; Nj; Ej

Donde se puede escribir: Ni = N0i + δNi ; Ei = E0i + δEi ; Nj = N0j + δNj ; Ej = E0j + δEj

Siendo N0i, E0i, N0j, E0j, los valores aproximados de las coordenadas de la red, valores viejos conocidos, deducidos de cálculos preli minares utilizando las nuevas observaciones o leídos por ejemplo de un mapa a escala lo más grande posible, según sea el caso y suponemos que la δNi ; δEi ; δNj y δEj son diferencialmente pequeños.

Entonces las funciones entre vértices i j de la red se pueden expresar utilizando la serie de Taylor:

Vi = [∂(Fij)/∂Ni]0 δNi + [∂(Fij)/∂Ei]0 δEi + [∂(Fij)/∂NJ]0 δNj + [∂(Fij)/∂Ej]0 δEj + Lij (aproximada)- Lij (observada)

[∂(Fij)/∂N]0 o [∂(Fij)/∂E]0 son las derivadas parciales de las funciones F entre los puntos i j, evaluadas en los valores aproximados de las coordenadas de la red, así como la observación Lij (aproximada) obtenida introduciendo dichos valores en la función F.

2.2.1. Ecuaciones originales de observación de distancias y acimutes.

SIJ = [(NJ – NI)2 + (EJ – EI)2]1/2

AcIJ = αIJ = Arctg [(EJ – EI) / (NJ – NI)]

2.2.1.1. Ecuaciones de observación de distancias modificadas y linealizadas

Vs = [(N0j – N0i)/S0]δNj + [(E0j – E0i)/S0]δEj - [(N0j – N0i)/S0]δNi - [(E0j – E0i)/S0]δEi + S(aprox) – S(obs)

S0 = S(aprox)

2.2.1.2 Ecuaciones de observación de acimutes modificadas y linealizadas entre vértices i j de la red.

Vα = [(N0j – N0i)/S02]δEj - [(E0j – E0i)/S02]δNj - [(N0j – N0i)/S02]δEi + [(E0j – E0i)/S02]δNi + α(aprox) - α(obs) α0 = α(aprox)