Especializaciones de familias de curvas de grado 4 en geometría algebraica
DOI:
https://doi.org/10.15517/bdphz044Palabras clave:
Variedad de Chow, Especialización, Esquema de HilbertResumen
El objetivo de este artículo de revisión es sintetizar y exponer, de forma detallada, la técnica de especialización de curvas. Específicamente, revisamos y analizamos ejemplos clave sobre cómo ciertas curvas de grado 4 y género aritmético 0 (parametrizadas por el esquema Hilb4m+1(ℙ3)) pueden transformarse o degenerar a otras curvas. Se detalla el procedimiento de cálculo computacional, ilustrado con el apoyo del software Macaulay2. Finalmente, se evalúa la utilidad de las especializaciones para describir explícitamente y clasificar las componentes irreducibles de los esquemas de Hilbert y sus correspondientes variedades de Chow. La técnica de especialización de familias de curvas se ha consolidado como un método poderoso y riguroso en geometría algebraica. Al proveer un diagrama de estratificación bien definido, esta herramienta permite, consecuentemente, alcanzar una clasificación precisa de las curvas y comprender la conectividad de las componentes del esquema de Hilbert.
Descargas
Referencias
[1] D. Chen, On the dimension of the Hilbert scheme of curves. Mathematical Research Letters 16(2009), no. 6, 941-954. DOI: 10.4310/mrl.2009.v16.n6.a3
[2] D. Chen, I. Cozcun y S. Nollet, Hilbert scheme of a pair of codimension two linear subspaces. Communications in Algebra 39(2011), no. 8, 3021-3043. DOI: 10.1080/00927872.2010.498396
[3] D. Cox, J. Little y D. O’Shea, Using algebraic geometry. Springer New York, New York, 1998. DOI: 10.1007/978-1-4757-6911-1
[4] D. Cox, J. Little y D. O’Shea, Ideals, varieties, and algorithms. 3rd. Springer Nature Switzerland, Cham, 2025. DOI: 10.1007/978-3-031-91841-4
[5] D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer New York, New York, 1995. DOI: 10.1007/978-1-4612-5350-1
[6] D. Eisenbud, D. Grayson, M. Stillman y B. Sturmfels, eds., Computations in algebraic geometry with Macaulay 2. Springer New York, New York, 2002. DOI: 10.1007/978-3-662-04851-1
[7] D. Eisenbud y J. Harris, The geometry of schemes. Springer New York, New York, 2000. DOI: 10.1007/b97680
[8] D. Eisenbud y J. Harris, 3264 and all that: a second course in algebraic geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 2013. DOI: 10.1017/CBO9781139062046
[9] D. R. Grayson y M. E. Stillman, Macaulay2, a software system for research in algebraic geometry. Sistema de Software. 2002.
[10] G.-M. Greuel, C. Lossen y E. Shustin, Geometry of families of nodal curves on the blown-up projective plane. Transactions of the AmericanMathematical Society 350(1998), no. 1. DOI: 10.1090/S0002-9947-98-02055-8
[11] G.-M. Greuel, C. Lossen y E. Shustin, Introduction to singularities and deformations. Springer Berlin, Berlin, 2007. DOI: 10.1007/3-540-28419-2
[12] J. Harris, Algebraic geometry: a first course. Springer New York, New York, 1992. DOI: 10.1007/978-1-4757-2189-8
[13] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Springer New York, New York, 1977. DOI: 10.1007/978-1-4757-3849-0
[14] R. Hartshorne, Deformation theory. Springer New York, New York, 2010. DOI: 10.1007/978-1-4419-1596-2
[15] Y.-H. A. Lee, The Hilbert schemes of curves in ℙ3. Tesis doct. Harvard University, (2000).
[16] C. Lozano, Curvas algebraicas y la pregunta de Halphen. Miscelánea Matemática 16(2016), 1-15.
[17] M. Maican, Moduli of space sheaves with Hilbert polynomial 4m + 1. Canadian Mathematical Bulletin 61(2017), no. 2, 328-345. DOI: 10.4153/cmb-2017-030-4
[18] D. Munford, J. Fogarty y F. Kirwan, Geometric Invariant Theory. 3rd. Springer-Verlag Berlin, 1994.
[19] S. Nollet, The Hilbert schemes of degree three curves. Annales Scientifiques de l’ École Normale Supérieure 139(1997), no. 2, 367-384. DOI: 10.1016/S0012-9593(97)89925-9
[20] S. Nollet y E. Schlesinger, Hilbert schemes of degree four curves. Compositio Mathematica 139(2003), no. 3, 169-196. DOI: 10.1023/b:comp.0000005083.20724.cb
[21] A. Piedra, A partial description of the Chow variety of 1-cycles of degree 3 in ℙ3. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana 25(2019), 21-51. DOI:
10.1007/s40590-017-0182-6
[22] R. Piene y M. Schlessinger, On the Hilbert scheme compactification of the space of twisted cubics. American Journal of Mathematics 107(1985), no. 4, 761-774. DOI: 10.2307/2374355
[23] P. J. H. Rizzo, Morfismos de Abel, series lineales y sus límites sobre curvas. Revista Colombiana de Matemáticas 51(2017), no. 2, 119-152. DOI: 10.15446/recolma.v51n2.70895
[24] D. Rydh, Families of cycles and the Chow scheme. Tesis doct. KTH Royal Institute of Technology, (2008).
[25] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry. 2nd. Springer Berlin, Berlin, 1994. DOI: 10.1007/978-3-642-57908-0
[26] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry I: varieties in projective space. 3rd. Springer Berlin, Berlin, 1994. DOI: 10.1007/978-3-642-37956-7
[27] K. E. Smith, L. Kahanpää, P. Kekäläinen y W. Traves, An invitation to algebraic geometry. 1st. Springer New York, New York, 1998. DOI: 10.1007/978-1-4757-4497-2
[28] W. V. Vasconcelos, Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry. 1st. Springer Berlin, Berlin, 1998.
Descargas
Publicado
Número
Sección
Licencia
Derechos de autor 2026 Andrés Piedra (Autor/a)
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0.
Revista de Matemática: Teoría y aplicaciones por Universidad de Costa Rica se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.
Cómo citar
